【題目】如圖1,在邊長(zhǎng)為4的菱形ABCD中,AC為其對(duì)角線,∠ABC=60°點(diǎn)M、N是分別是邊BC、邊CD上的動(dòng)點(diǎn),且MB=NC.連接AM、AN、MN.MN交AC于點(diǎn)P.
(1)△AMN是什么特殊的三角形?說(shuō)明理由.并求其面積最小值;
(2)求點(diǎn)P到直線CD距離的最大值;
(3)如圖2,已知MB=NC=1,點(diǎn)E、F分別是邊AM、邊AN上的動(dòng)點(diǎn),連接EF、PF,EF+PF是否存在最小值?若存在,求出最小值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
【答案】(1)等邊三角形,理由參見(jiàn)解析,3;(2);(3).
【解析】
試題分析:(1)△AMN是等邊三角形,AM⊥BC時(shí)面積最小.只要證明△AMB≌△ANC,推出AM=AN,∠BAM=∠CAN即可解決問(wèn)題.(2)如圖2中,當(dāng)AM⊥BC時(shí),點(diǎn)P到CD距離最大.作PE⊥CD于E.(3)如圖3中,作點(diǎn)P關(guān)于AN的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為K,過(guò)點(diǎn)K做AM的垂線,交AN為F,交AM為E,此時(shí),EF+PF最短,連接AK、作AG⊥MN于G,MH⊥AB于H.首先求出AM、AG的長(zhǎng),再證明△AGP≌△KEA,推出KE=AG即可.
試題解析:(1)如圖1中,
∵ABCD是菱形,∠ABC=60°,∴△ABC為等邊三角形,在△AMB和△ANC中,AB=AC,∠B=∠ACN=60°,BM=NC,∴△AMB≌△ANC,∴AM=AN,∠BAM+∠MAC=∠MAC+∠NAC=60°,∴∠MAN=60°,∴△AMN為等邊三角形,當(dāng)AM⊥BC時(shí),△AMN的邊長(zhǎng)最小,面積最小,此時(shí)AM=MN=AN=2,S△AMN=(2)2=3;(2)如圖2中,
當(dāng)AM⊥BC時(shí),點(diǎn)P到CD距離最大.作PE⊥CD于E.理由:由(1)可知△AMN是等邊三角形,當(dāng)AM⊥BC時(shí),△AMN的邊長(zhǎng)最小,此時(shí)PA長(zhǎng)最小,PC的長(zhǎng)最大,點(diǎn)P到直線CD的距離最大,∵BM=MC=2,∠CMP=30°,∠MPC=90°,∴PC=MC=1,在Rt△PCE中,∵∠CPE=30°,PC=1,∴EC=PC=,∴PE==.∴點(diǎn)P到直線CD距離的最大值為;(3)如圖3中,作點(diǎn)P關(guān)于AN的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為K,過(guò)點(diǎn)K做AM的垂線,交AN為F,交AM為E,此時(shí),EF+PF最短,由于對(duì)稱(chēng),PF=KF,EF為垂線段(垂線段最短).
連接AK、作AG⊥MN于G,MH⊥AB于H.在Rt△BMH中,∵BM=1,∠BMH=30°,∴BH=,HM=,∴AH=,AM==,∵△AMN是等邊三角形,∴AG=.∵∠APG=∠PCM+∠PMC=60°+∠PMC,∵∠PMC+∠PCM+∠CPM=180°,∠NAP+∠ANP+∠APN=180°,∠ANP=∠PCM=60°,∠APN=∠CPM,∴∠CMP=∠NAP=∠NAK,∵∠EAK=∠EAN+∠NAK=60°+∠NAK,∴∠APG=∠EAK,∵∠AGP=∠AEK=90°,AP=AK,∴△AGP≌△KEA,∴KE=AG=.∴EF+PF的最小值為.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖所示,在△ABC中,AB:BC:CA=3:4:5,且周長(zhǎng)為36cm,點(diǎn)P從點(diǎn)A開(kāi)始沿AB邊向點(diǎn)B以每秒1cm的速度移動(dòng);點(diǎn)Q從點(diǎn)B沿BC邊向點(diǎn)C以每秒2cm的速度移動(dòng);如果同時(shí)出發(fā),則過(guò)3秒時(shí),求△BPQ的面積。
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【題目】已知二次函數(shù)y=x2﹣4x+m(m為常數(shù))的圖象與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為(1,0),則關(guān)于x的一元二次方程x2﹣4x+m=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根是( )
A.x1=1,x2=﹣1
B.x1=﹣1,x2=2
C.x1=﹣1,x2=0
D.x1=1,x2=3
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【題目】對(duì)方程7(3﹣x)﹣5(x﹣3)=8去括號(hào)正確的是( 。
A. 21﹣x﹣5x+15=8 B. 21﹣7x﹣5x﹣15=8
C. 21﹣7x﹣5x+15=8 D. 21﹣x﹣5x﹣15=8
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【題目】A、B兩地相距16km,甲、乙兩人都從A地到B地.甲步行,每小時(shí)4km,乙騎車(chē),每小時(shí)行駛12km,甲出發(fā)2小時(shí)后乙再出發(fā),先到達(dá)B地的人立即返回去迎接另一個(gè)人,在其返回的路上兩人相遇,則此時(shí)乙所用時(shí)間為( 。
A. 3.5小時(shí) B. 3小時(shí) C. 1.5小時(shí) D. 1小時(shí)
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【題目】已知等腰三角形的腰和底的長(zhǎng)分別是一元二次方程x2﹣4x+3=0的根,則該三角形的周長(zhǎng)可以是( )
A.5
B.7
C.5或7
D.10
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【題目】游泳池中有一批小朋友,男生戴藍(lán)色游泳帽,女生戴紅色游泳帽.如果每位男孩看到藍(lán)色與紅色的游泳帽一樣多,而每位女孩看到藍(lán)色的游泳帽比紅色的多1倍.設(shè)男孩有x人,則可列方程( 。
A. x=2(x﹣2) B. x﹣1=2(x﹣2) C. x=2(x﹣1) D. x﹣1=2x
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