Question

【題目】如圖，一次函數(shù)y1＝kx+b（k，b為常數(shù)，k≠0）的圖象與反比例函數(shù)y2＝（m為常數(shù)，m≠0）的圖象相交于點M（1，4）和點N（4，n）．

（1）反比例函數(shù)與一次函數(shù)的解析式．

（2）函數(shù)y2＝的圖象（x＞0）上有一個動點C，若先將直線MN平移使它過點C，再繞點C旋轉(zhuǎn)得到直線PQ，PQ交x軸于點A，交y軸點B，若BC＝2CA，求OAOB的值．

Answer 1

【答案】（1）y＝，y＝﹣x+5；（2）OAOB的值為18或2．

【解析】

（1）將點M（1，4）代入y2＝（m為常數(shù)，m≠0）求反比例函數(shù)解析式，再求得N的坐標，將M與N兩點坐標代入y1＝kx+b，即可求解；

（2）過C作CH⊥y軸于點H，分三種情況結(jié)合三角形相似可求得OA和OB的值，則可求得OAOB．

（1）將點M（1，4）代入y2＝（m為常數(shù)，m≠0），

∴m＝1×4＝4，

∴反比例函數(shù)的解析式為y＝，

將N（4，n）代入y＝，

∴n＝1，

∴N（4，1），

將M（1，4），N（4，1）代入y1＝kx+b，

得到，

∴，

∴一次函數(shù)的解析式為y＝﹣x+5；

（2）設點C（a，b），則ab＝4，過C點作CH⊥OA于點H．

①當點B在y軸的負半軸時，如圖1，

∵BC＝2CA，

∴AB＝CA．

∵∠AOB＝∠AHC＝90°，∠OAB＝∠CAH，

∴△ACH∽△ABO．

∴OB＝CH＝b，OA＝AH＝a，

∴OAOB＝ab＝2．

②當點B在y軸的正半軸時，

如圖2，當點A在x軸的正半軸時，

∵BC＝2CA，

∴

∵CH∥OB，

∴△ACH∽△ABO．

∴

∴OB＝3b，OA＝a

∴；

③當點A在x軸的負半軸時，BC＝2CA不可能．

綜上所述，OAOB的值為18或2．