Question

【題目】問(wèn)題背景：在中，邊上的動(dòng)點(diǎn)由向運(yùn)動(dòng)（與，不重合），點(diǎn)與點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，由點(diǎn)沿的延長(zhǎng)線方向運(yùn)動(dòng)（不與重合），連結(jié)交于點(diǎn)，點(diǎn)是線段上一點(diǎn).

（1）初步嘗試：如圖，若是等邊三角形，，且點(diǎn)，的運(yùn)動(dòng)速度相等，求證：.

小王同學(xué)發(fā)現(xiàn)可以由以下兩種思路解決此問(wèn)題：

思路一：過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)，先證，再證，從而證得結(jié)論成立；

思路二：過(guò)點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，先證，再證，從而證得結(jié)論成立.

請(qǐng)你任選一種思路，完整地書(shū)寫(xiě)本小題的證明過(guò)程（如用兩種方法作答，則以第一種方法評(píng)分）

（2）類比探究：如圖，若在中，，，且點(diǎn)，的運(yùn)動(dòng)速度之比是，求的值；

（3）延伸拓展：如圖，若在中，，，記，且點(diǎn)、的運(yùn)動(dòng)速度相等，試用含的代數(shù)式表示（直接寫(xiě)出結(jié)果，不必寫(xiě)解答過(guò)程）.

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）；（3）.

【解析】

（1）過(guò)點(diǎn)D作DG∥BC，交AC于點(diǎn)G，先證明△ADG是等邊三角形，得出GD=AD=CE，再證明GH=AH，由ASA證明△GDF≌△CEF，得出GF=CF，即可得出結(jié)論；

（2）過(guò)點(diǎn)D作DG∥BC，交AC于點(diǎn)G，先證出AH=GH=GD，AD=GD，由題意AD=CE，得出GD=CE，再證明△GDF≌△CEF，得出GF=CF，即可得出結(jié)論；

（3）過(guò)點(diǎn)D作DG∥BC，交AC于點(diǎn)G，先證出DG=DH=AH，再證明△ADG∽△ABC，△ADG∽△DGH，△DGH∽△ABC，得出，△DGH∽△ABC，得出，證明△DFG∽△EFC，得出，，即可得出結(jié)果．

解：（1）證明：選擇思路一：

如題圖1，過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)，

∵是等邊三角形，∴，.

∴是等邊三角形.∴.

∵，∴.

∵，∴，.

∴.∴.

∴，即.

（2）如圖2，過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)，

則，

∵，∴.

∴，.

由題意可知，，∴.

∵，∴，.

∴.∴.

∴，即.

∴.

（3），理由如下：

過(guò)點(diǎn)D作DG∥BC，交AC于點(diǎn)G，如圖3所示：

則∠ADG=∠B，∠AGD=∠ACB，
∵AB=AC，∠BAC=36°，
∴∠ACB=∠B=∠ADG=∠AGD=72°，
∵∠ADH=∠BAC=36°，
∴AH=DH，∠DHG=72°=∠AGD，
∴DG=DH=AH，△ADG∽△ABC，△ADG∽△DGH，

，

∴△DGH∽△ABC，

，

，

∵DG∥BC，
∴△DFG∽△EFC，

，

，

即，

，

.