【題目】如圖,邊長為2a的等邊△ABC中,M是高CH所在直線上的一個動點,連接MB,將線段BM繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到BN,連接HN.則在點M運動過程中,線段HN長度的最小值是( 。
A. B. aC. D.
【答案】A
【解析】
取CB的中點G,連接MG,根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得BH=BG,再求出∠HBN=∠MBG,根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得MB=NB,然后利用“邊角邊”證明∴△MBG≌△NBH,再根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得HN=MG,然后根據(jù)垂線段最短可得MG⊥CH時最短,再根據(jù)∠BCH=30°求解即可.
如圖,取BC的中點G,連接MG,
∵旋轉(zhuǎn)角為60°,
∴∠MBH+∠HBN=60°,
又∵∠MBH+∠MBC=∠ABC=60°,
∴∠HBN=∠GBM,
∵CH是等邊△ABC的對稱軸,
∴HB=AB,
∴HB=BG,
又∵MB旋轉(zhuǎn)到BN,
∴BM=BN,
在△MBG和△NBH中,
,
∴△MBG≌△NBH(SAS),
∴MG=NH,
根據(jù)垂線段最短,MG⊥CH時,MG最短,即HN最短,
此時∵∠BCH=×60°=30°,CG=AB=×2a=a,
∴MG=CG=×a=,
∴HN=,
故選A.
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【題目】閱讀材料:
工廠加工某種新型材料,首先要將材料進行加溫處理,使這種材料保持在一定的溫度范圍內(nèi)方可進行繼續(xù)加工處理這種材料時,材料溫度是時間的函數(shù)下面是小明同學研究該函數(shù)的過程,把它補充完整:
在這個函數(shù)關(guān)系中,自變量x的取值范圍是______.
如表記錄了17min內(nèi)10個時間點材料溫度y隨時間x變化的情況:
時間 | 0 | 1 | 3 | 5 | 7 | 9 | 11 | 13 | 15 | 17 | |
溫度 | 15 | 24 | 42 | 60 | m |
上表中m的值為______.
如圖,在平面直角坐標系xOy中,已經(jīng)描出了上表中的部分點根據(jù)描出的點,畫出該函數(shù)的圖象.
根據(jù)列出的表格和所畫的函數(shù)圖象,可以得到,當時,y與x之間的函數(shù)表達式為______,當時,y與x之間的函數(shù)表達式為______.
根據(jù)工藝的要求,當材料的溫度不低于時,方可以進行產(chǎn)品加工,在圖中所示的溫度變化過程中,可以進行加工的時間長度為______min.
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【題目】如圖,AB為⊙O的直徑,PD切⊙O于點C,與BA的延長線交于點D,DE⊥PO交PO延長線于點E,連接PB,∠EDB=∠EPB.
(1)求證:PB是的切線.
(2)若PB=6,DB=8,求⊙O的半徑.
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【題目】如圖,四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O,BD是⊙O的直徑,AE⊥CD于點E,DA平分∠BDE.
(1)求證:AE是⊙O的切線;
(2)如果AB=4,AE=2,求⊙O的半徑.
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【題目】如圖,在四邊形ABCD中,AD∥BC,AB=BC,對角線AC、BD交于點O,BD平分∠ABC,過點D作DE⊥BC,交BC的延長線于點E,連接OE.
(1)求證:四邊形ABCD是菱形;
(2)若DC=2,AC=4,求OE的長.
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【題目】定義:方程cx2+bx+a=0是一元二次方程ax2+bx+c=0的倒方程.
(1)已知x=2是x2+2x+c=0的倒方程的解,求c的值;
(2)若一元二次方程ax2﹣2x+c=0無解,求證:它的倒方程也一定無解;
(3)一元二次方程ax2﹣2x+c=0(a≠c)與它的倒方程只有一個公共解,它的倒方程只有一個解,求a和c的值.
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【題目】如圖,正方形ABCD的邊長為1,點P在射線BC上(異于點B、C),直線AP與對角線BD及射線DC分別交于點F、Q.
(1)若BP=,求∠BAP的度數(shù);
(2)若點P在線段BC上,過點F作FG⊥CD,垂足為G,當△FGC≌△QCP時,求PC的長;
(3)以PQ為直徑作⊙M.
①判斷FC和⊙M的位置關(guān)系,并說明理由;
②當直線BD與⊙M相切時,直接寫出PC的長.
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【題目】如圖,直線:()與,軸分別交于,兩點,以為邊在直線的上方作正方形,反比例函數(shù)和的圖象分別過點和點.若,則的值為______.
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【題目】京杭大運河是世界文化遺產(chǎn).綜合實踐活動小組為了測出某段運河的河寬(岸沿是平行的),如圖,在岸邊分別選定了點A、B和點C、D,先用卷尺量得AB=160m,CD=40m,再用測角儀測得∠CAB=30°,∠DBA=60°,求該段運河的河寬(即CH的長).
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