Question

如圖，在⊙O中，直徑AB垂直于弦CD，垂足為E，連接AC，將△ACE沿AC翻折得到△ACF，直線FC與直線AB相交于點M
（1）直線FC與⊙O有何位置關(guān)系？并說明理由；
（2）若OB=BM，CM=2

3

，求⊙O的半徑．

Answer 1

考點：切線的判定,勾股定理

專題：

分析：（1）連接OC，通過證明OC∥AF，從而證得OC⊥FG即可判定切線．
（2）首先根據(jù)題意得出∠COM=60°，進而利用勾股定理求得⊙O的半徑的長即可．

解答：（1）答：直線FC與⊙O相切；
證明：連接OC，
∵直徑AB垂直于弦CD，
∵將△ACE沿AC翻折得到△ACF，
∴∠F=∠CEA=90°，∠FAC=∠EAC，
∵OA=OC，
∴∠OCA=∠OAC，
∴∠FAC=∠OCA，
∴OC∥AF，
∴OC⊥FG，
∴直線FC與⊙O相切；

（2）解：由（1）知，△COM為直角三角形，連接CB，
∵OB=BM，
∴CB=OB=BM，
∴∠COM=60°，
在Rt△COM中，設(shè)OC=x，則OM=2x，
由勾股定理得：OM²-OC²=CM²，
即（2x）²-x²=（2

3

）²，
解得：x=2，
答：⊙O的半徑為2．

點評：本題考查了切線的性質(zhì)和判定，平行線的性質(zhì)，等腰三角形性質(zhì)，垂徑定理，解直角三角形等知識點的應(yīng)用，能綜合運用這些性質(zhì)進行推理是解此題的關(guān)鍵，題型較好．