Question

【題目】如圖，拋物線與x軸交于點(diǎn)A(-1，0)，B(3，0)，交y軸的正半軸于點(diǎn)C，對(duì)稱軸交拋物線于點(diǎn)D，交x軸與點(diǎn)E，則下列結(jié)論：①2a+b=0；②b+2c>0；③a+b>am+bm（m為任意實(shí)數(shù)）；④一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；⑤當(dāng)△BCD為直角三角形時(shí)，a的值有2個(gè)；⑥若點(diǎn)P為對(duì)稱軸上的動(dòng)點(diǎn)，則有最大值，最大值為．其中正確的有（ ）

A.2個(gè)B.3個(gè)C.4個(gè)D.5個(gè)

Answer 1

【答案】C

【解析】

由A(-1，0)，B(3，0)得出拋物線的對(duì)稱軸，利用對(duì)稱軸判斷①，利用對(duì)稱軸與函數(shù)的最大值判斷②，利用不同的的值對(duì)應(yīng)不同的函數(shù)值，數(shù)型結(jié)合判斷③，利用兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)判斷④，利用兩條直線互相垂直時(shí)， 求出的值判斷⑤，利用三角形任意兩邊的差小于第三邊，判斷⑥．

解：因?yàn)?/span>A(-1，0)，B(3，0)，所以拋物線的對(duì)稱軸是，所以，

從而①2a+b=0正確．

又因?yàn)楫?dāng)，＞0，把2a+b=0化為代入＞0得：＞0，即b+2c>0，所以②正確．

又因?yàn)楫?dāng)，，當(dāng)，，由拋物線的性質(zhì)知道：函數(shù)的最大值是，所以為任意實(shí)數(shù)時(shí)有，所以，所以③錯(cuò)誤．

由化為，考查函數(shù)與的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，顯然兩個(gè)函數(shù)有兩個(gè)交點(diǎn)，所以④一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根正確．

因?yàn)閽佄锞�過(guò)點(diǎn)A(-1，0)，B(3，0)，

所以： 解得：

所以拋物線為

所以C（0，），D（1，）而B（3，0）

所以，，，

當(dāng)時(shí)，，解得：，（舍去）

當(dāng)時(shí)，，解得：，（舍去）

當(dāng)時(shí)，，方程無(wú)解，所以⑤正確．

如下圖，因?yàn)?/span>A，B兩點(diǎn)關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，所以＝，當(dāng)P，A，C三點(diǎn)不共線時(shí)總有＜AC，而且只有P，A，C三點(diǎn)共線時(shí)有＝AC，所以有最大值且等于AC，又因?yàn)?/span>A(-1，0)，C(0，c)，所以，故⑥錯(cuò)誤．

故選C．