Question

△ABC中，∠ABC=45°，BD⊥AC，AD=2，CD=3，求BD長．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質(zhì),勾股定理,正方形的性質(zhì)

專題：

分析：過點A作AE⊥BC于E，與BD相交于點F，連接CF，然后求出△ABE是等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得AE=BE，根據(jù)同角的余角相等求出∠EBF=∠EAC，然后利用“角角邊”證明△ACE和△BFE全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得EF=CE，再求出△ABD和△FCD相似，根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例列式求解即可．

解答：解：如圖，過點A作AE⊥BC于E，與BD相交于點F，連接CF，
∵∠ABC=45°，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∴AE=BE，
∵BD⊥AC，
∴∠EBF+∠ACB=90°，
∠EAC+∠ACB=90°，
∴∠EBF=∠EAC，
在△ACE和△BFE中，

∠EBF=∠EAC AE=BE ∠BEF=∠AEC=90°

，
∴△ACE≌△BFE（ASA），
∴BF=AC，EF=CE，
∴∠EFC=45°，
∵∠ACF+∠EAC=∠EFC=45°，
∠ABD+∠EBF=45°，
∴∠ACF=∠ABD，
又∵∠ADB=∠CDF=90°，
∴△ABD∽△FCD，
∴

AD

DF

=

BD

CD

，
∵AD=2，CD=3，
∴BF=AC=2+3=5，
∴

2

BD-5

=

BD

3

，
整理得，BD²-5BD-6=0，
解得BD=6或BD=-1（舍去），
所以，BD的長為6．

點評：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，熟記各性質(zhì)并作輔助線構(gòu)造出全等三角形和相似三角形是解題的關(guān)鍵．