Question

如圖，在正方形ABCD中，E、F分別是邊AB、BC的中點(diǎn)，連接AF、DE相交于點(diǎn)G，連接CG．
（1）求證：AF⊥DE；
（2）求證：CG=CD．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),直角三角形的性質(zhì),正方形的性質(zhì)

專(zhuān)題：證明題

分析：（1）正方形ABCD中，AB=BC，BF=AE，且∠ABF=∠DAE=90°，即可證明△ABF≌△DAE，即可得∠DGA=90°，結(jié)論成立．
（2）延長(zhǎng)AF交DC延長(zhǎng)線(xiàn)于M，證明△ABF≌△MCF，說(shuō)明△DGM是直角三角形，命題得證．

解答：證明：（1）∵四邊形ABCD為正方形
∴AB=BC=CD=AD，∠ABF=∠DAE=90°，
又∵E，F(xiàn)分別是邊AB．BC的中點(diǎn)
∴AE=

1

2

AB．BF=

1

2

BC
∴AE=BF．
在△ABF與△DAE中，

DA=AB ∠DAE=∠ABF AE=BF

，
∴△DAE≌△ABF（SAS）．
∴∠ADE=∠BAF，
∵∠BAF+∠DAG=90°，
∴∠ADG+∠DAG=90°，
∴∠DGA=90°，即AF⊥DE．

（2）證明：延長(zhǎng)AF交DC延長(zhǎng)線(xiàn)于M，
∵F為BC中點(diǎn)，
∴CF=FB
又∵DM∥AB，
∴∠M=∠FAB．
在△ABF與△MCF中，

∠M=∠FAB ∠CFM=∠BFA CF=FB

，
∴△ABF≌△MCF（AAS），
∴AB=CM．
∴AB=CD=CM，
∵△DGM是直角三角形，
∴GC=

1

2

DM=DC．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了正方形各邊長(zhǎng)相等、各內(nèi)角為直角的性質(zhì)，考查了全等三角形的判定和全等三角形對(duì)應(yīng)角、對(duì)應(yīng)邊相等的性質(zhì)，本題中求證△ABF≌△BCE和△ABF≌△MCF是解題的關(guān)鍵．