Question

在△ABC中，∠ACB=90°．經(jīng)過(guò)點(diǎn)B的直線l（l不與直線AB重合）與直線BC的夾角等于∠ABC，分別過(guò)點(diǎn)C、點(diǎn)A作直線l的垂線，垂足分別為點(diǎn)D、點(diǎn)E．

（1）若∠ABC=45°，CD=1（如圖），則AE的長(zhǎng)為　　　　　　；

（2）寫(xiě)出線段AE、CD之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明；

（3）若直線CE、AB交于點(diǎn)F，，CD=4，求BD的長(zhǎng)．

　

Answer 1

 

【考點(diǎn)】相似形綜合題．

【分析】（1）首先在直角三角形CDB中利用CD求得BC，然后在直角三角形ABC中求得AE即可；

（2）根據(jù)上題得到的結(jié)論猜想兩條線段之間具有二倍關(guān)系，證得△GCD∽△GAE后即可證明猜想正確．

（3）分當(dāng)點(diǎn)F在線段AB上時(shí)和點(diǎn)F在線段BA的延長(zhǎng)線上時(shí)利用△AGH∽△AEB求得線段BD的長(zhǎng)即可．

【解答】（1）解：

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∵∠ABC=45°，

∴∠CBD=45°，

∵CD=1，

∴BC=，

∵∠ACB=90°，∠ABC=45°，

AE=2．

 

（2）線段AE、CD之間的數(shù)量關(guān)系為AE=2CD．

證明：如圖1，延長(zhǎng)AC與直線l交于點(diǎn)G．

依題意，可得∠1=∠2．

∵∠ACB=90°，

∴∠3=∠4．

∴BA=BG．∴CA=CG．…

∵AE⊥l，CD⊥l，

∴CD∥AE．

∴△GCD∽△GAE．

∴．

∴AE=2CD．

 

（3）解：當(dāng)點(diǎn)F在線段AB上時(shí)，如圖2，

過(guò)點(diǎn)C作CG∥l交AB于點(diǎn)H，交AE于點(diǎn)G．

∴∠2=∠HCB．

∵∠1=∠2，

∴∠1=∠HCB．

∴CH=BH．

∵∠ACB=90°，

∴∠3+∠1=∠HCB+∠4=90°．

∴∠3=∠4．

∴CH=AH=BH．

∵CG∥l，

∴△FCH∽△FEB．

∴．

設(shè)CH=5x，BE=6x，則AB=10x．

∴在△AEB中，∠AEB=90°，AE=8x．

由（2）得，AE=2CD．

∵CD=4，

∴AE=8．

∴x=1．

∴AB=10，BE=6，CH=5．

∵CG∥l，

∴△AGH∽△AEB．

∴．

∴HG=3．…

∴CG=CH+HG=8．

∵CG∥l，CD∥AE，

∴四邊形CDEG為平行四邊形．

∴DE=CG=8．

∴BD=DE﹣BE=2．…

當(dāng)點(diǎn)F在線段BA的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖3，

同理可得CH=5，GH=3，BE=6．

∴DE=CG=CH﹣HG=2．

∴BD=DE+BE=8．

∴BD=2或8．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似形綜合知識(shí)，題目中還涉及到了相似三角形的判定與性質(zhì)及解直角三角形的知識(shí)，難度較大，此類(lèi)題目應(yīng)重點(diǎn)掌握．