【題目】如圖,在平面直角坐標系中,∠ACB=90°,OC=2OB,tan∠ABC=2,點B的坐標為(1,0).拋物線y=﹣x2+bx+c經(jīng)過A、B兩點.
(1)求拋物線的解析式;
(2)點P是直線AB上方拋物線上的一點,過點P作PD垂直x軸于點D,交線段AB于點E,使PE最大.
①求點P的坐標和PE的最大值.
②在直線PD上是否存在點M,使點M在以AB為直徑的圓上;若存在,求出點M的坐標,若不存在,請說明理由.
【答案】(1)y=﹣x2﹣3x+4;(2)①,P② M(,)或(,)
【解析】
(1)先根據(jù)已知求點A的坐標,利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式;
(2)①根據(jù)A(﹣2,6),B(1,0),求得AB的解析式為:y=﹣2x+2,設P(a,﹣a2﹣3a+4),則E(a,﹣2a+2),利用PE=﹣a2﹣3a+4﹣(﹣2a+2)=﹣(a+)2+,根據(jù)二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)即求解;
②根據(jù)點M在以AB為直徑的圓上,得到∠AMB=90°,即AM2+BM2=AB2,求出,,AB2故可列出方程求解.
解:(1)∵B(1,0)
∴OB=1,
∵OC=2OB=2,
∴BC=3 ,C(﹣2,0)
Rt△ABC中,tan∠ABC=2,
∴=2,
∴AC=6,
∴A(﹣2,6),
把A(﹣2,6)和B(1,0)代入y=﹣x2+bx+c得:,
解得:,
∴拋物線的解析式為:y=﹣x2﹣3x+4;
(2)①∵A(﹣2,6),B(1,0),
易得AB的解析式為:y=﹣2x+2,
設P(a,﹣a2﹣3a+4),則E(a,﹣2a+2),
∴PE=﹣a2﹣3a+4﹣(﹣2a+2)=﹣a2﹣a+2=﹣(a+)2+
∴當a=時,PE=,此時P(,)
②∵M在直線PD上,且P(,),
∴
+
AB2=32+62=45,
∵點M在以AB為直徑的圓上
此時∠AMB=90°,
∴AM2+BM2=AB2,
∴++=45
解得: ,
∴M(,)或(,)
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【題目】在Rt△ABC中,CD為斜邊AB上的高,AC=3,BC=4,分別用r、r1、r2、表示△ABC,△ACD,△BCD內(nèi)切圓的半徑,則( )
A.r+r1+r2=B.r+r1+r2=
C.r﹣r1﹣r2=﹣D.r﹣r1﹣r2=﹣
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【題目】如圖,已知拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)的對稱軸為x=1,且拋物線經(jīng)過A(﹣1,0)、C(0,﹣3)兩點,與x軸交于另一點B.
(1)求這條拋物線所對應的函數(shù)關系式;
(2)在拋物線的對稱軸x=1上求一點M,使點M到點A的距離與到點C的距離之和最小,并求出此時點M的坐標;
(3)設點P為拋物線的對稱軸x=1上的一動點,求使∠PCB=90°的點P的坐標.
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【題目】如圖,在平面直角坐標系xOy中,一次函數(shù)y=﹣x+2的圖象與x軸交于點A與反比例函數(shù)(x<0)的圖象交于點B,過點B作BC⊥x軸于點C,且OA=OC.
(1)求點A的坐標和反比例函數(shù)的表達式;
(2)若點P是反比例函數(shù)(x<0)的圖象上的點,過P作PQ∥y軸,交直線AB于點Q,當PQ=BC時,求點P的坐標.
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【題目】如圖,拋物線y=ax2+bx﹣經(jīng)過點A(1,0)和點B(5,0),與y軸交于點C.
(1)求此拋物線的解析式;
(2)以點A為圓心,作與直線BC相切的⊙A,求⊙A的半徑;
(3)在直線BC上方的拋物線上任取一點P,連接PB,PC,請問:△PBC的面積是否存在最大值?若存在,求出這個最大值的此時點P的坐標;若不存在,請說明理由.
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【題目】已知:不等式組
(1)解這個不等式組,井把它在數(shù)軸上表示出來.
(2)關于x的分式方程的解是不是這個不等式組的整數(shù)解?
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【題目】如圖,若果∠1=∠2,那么添加下列任何一個條件:(1),(2),(3)∠B=∠D,(4)∠C=∠AED, 其中能判定△ABC∽△ADE的個數(shù)為
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
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【題目】如圖,,,△A2B2B3 是全等的等邊三角形,點 B,B1,B2,B3 在同一條 直線上,連接 A2B 交 AB1 于點 P,交 A1B1 于點 Q,則 PB1∶QB1 的值為___.
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【題目】定義:如圖1,在中,把繞點逆時針旋轉(zhuǎn)()并延長一倍得到,把繞點順時針旋轉(zhuǎn)并延長一倍得到,連接.當時,稱是的“倍旋三角形”,邊上的中線叫做的“倍旋中線”.
特例感知:
(1)如圖1,當,時,則“倍旋中線”長為______;如圖2,當為等邊三角形時,“倍旋中線”與的數(shù)量關系為______;
猜想論證:
(2)在圖3中,當為任意三角形時,猜想“倍旋中線”與的數(shù)量關系,并給予證明.
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