Question

已知頂點為P的拋物線C₁的解析式是y=a（x-3）²（a≠0），且經(jīng)過點（0，1）．
（1）求a的值；
（2）如圖將拋物線C₁向下平移h（h＞0）個單位得到拋物線C₂，過點K（0，m²）（m＞0）作直線l平行于x軸，與兩拋物線從左到右分別相交于A、B、C、D四點，且A、C兩點關(guān)于y軸對稱．
①點G在拋物線C₁上，當(dāng)m為何值時，四邊形APCG是平行四邊形？
②若拋物線C₁的對稱軸與直線l交于點E，與拋物線C₂交于點F，試探究：在K點運動過程中，

KC

PF

的值是否會改變？若會，請說明理由；若不會，請求出這個值．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）直接利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式得出即可；
（2）首先得出△GQK≌△POK（ASA），進(jìn)而得出頂點G在拋物線C₁上，得出2m²=

1

9

（-3-3）²，進(jìn)而得出答案；
（3）利用函數(shù)對稱性表示出A點坐標(biāo)，再表示出KC，PF的長，進(jìn)而得出其比值．

解答：解：（1）∵拋物線C₁的解析式是y=a（x-3）²（a≠0），經(jīng)過點（0，1），
∴1=a（0-3）²，
解得：a=

1

9

，

（2）①∵A、C兩點關(guān)于y軸對稱，
∴點K為AC的中點，
若四邊形APCG是平行四邊形，則必有點K是PG的中點，
過點G作GQ⊥y軸于點Q，
在△GQK和△POK中

∠GQK=∠POK QK=OK ∠QKG=∠OKP

，
∴△GQK≌△POK（ASA），
∴GQ=PO=3，KQ=OK=m²，OQ=2m²，
∴點G（-3，2m²），
∵頂點G在拋物線C₁上，
∴2m²=

1

9

（-3-3）²，
解得：m=±

2

，
又∵m＞0，
∴m=

2

，
∴當(dāng)m=

2

時，四邊形APCG是平行四邊形；

②

KC

PF

的值不會改變；
理由：在拋物線y=

1

9

（x-3）²中，令y=m²，
解得：x=3±3m，
又∵m＞0，且點C在點B的右側(cè)，
∴C（3+3m，m²），KC=3+3m，
∵A、C兩點關(guān)于y軸對稱，
∴A（-3-3m，m²），
∵將拋物線C₁向下平移h（h＞0）個單位得到拋物線C₂，
∴拋物線C₂的解析式為：y=

1

9

（x-3）²-h，
∴m²=

1

9

（-3-3m-3）²-h，
解得：h=4m+4，
∴PF=4+4m，
∴

KC

PF

=

3+3m

4+4m

=

3

4

．

點評：此題主要考查了二次函數(shù)綜合以及二次函數(shù)的平移以及全等三角形的判定與性質(zhì)以及平行四邊形的判定與性質(zhì)等知識，利用二次函數(shù)對稱性得出A點坐標(biāo)是解題關(guān)鍵．