Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A點(diǎn)在x軸的正半軸上，C點(diǎn)在y軸的正半軸上，矩形OABC的頂點(diǎn)B在第一象限內(nèi)，D點(diǎn)在AB邊上，BD=3AD，連接OB，作直線CD，又知OB=10，tan∠AOB=

4

3

．
（1）求直線CD的解析式；
（2）動(dòng)點(diǎn)P從O點(diǎn)出發(fā)，沿OA以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)的速度向終點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)Q從A點(diǎn)出發(fā)，沿AB以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)的速度勻速運(yùn)動(dòng)到D點(diǎn)后，又以每秒6個(gè)單位長(zhǎng)的速度繼續(xù)向終點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng)．連接PQ、OQ，設(shè)P、Q運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（秒），△POQ的面積為S（平方單位），求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫出自變量t的取值范圍；
（3）在（2）的條件下，連接CP、CQ，問是否存在這樣的t值，使得∠OPC=∠OQC？若存在，請(qǐng)求出所有滿足條件的t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：一次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）由四邊形OABC是矩形，OB=10，tan∠AOB=

4

3

，易求得OA，OB的長(zhǎng)，又由BD=3AD，則可求得點(diǎn)C與D的坐標(biāo)，然后由待定系數(shù)法即可求得直線CD的解析式；
（2）分別從當(dāng)0＜t≤2時(shí)，AQ=t，OP=2t與當(dāng)2＜t＜3時(shí)，AQ=2+6（t-2）=6t-10，OP=2t去分析求解即可求得答案；
（3）由∠OPC=∠OQC，可得點(diǎn)O，P，Q，C共圓，然后由圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，即可得∠PQC=90°，即可證得△BCQ∽△AQP，然后由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，即可求得答案．

解答：解：（1）∵四邊形OABC是矩形，
∴∠OAB=90°，
∵OB=10，tan∠AOB=

4

3

，
∴sin∠AOB=

4

5

，cos∠AOB=

3

5

，
∴OA=OB•cos∠AOB=8，AB=OB•sin∠AOB=6，
∵BD=3AD，
∴AD=2，BD=6，
∴OC=AB=8，
∴D（6，2），C（0，8），
設(shè)直線CD的解析式為：y=kx+b，

6k+b=2 b=8

，
解得：

k=-1 b=8

，
∴直線CD的解析式為：y=-x+8；

（2）如圖1，當(dāng)0＜t≤2時(shí)，則AQ=t，OP=2t，
則S_△OPQ=

1

2

OP•AQ=

1

2

×2t×t=t²；
如圖2，當(dāng)2＜t≤3時(shí)，則AQ=2+6（t-2）=6t-10，OP=2t，
則S_△OPQ=

1

2

OP•AQ=

1

2

×2t×（6t-10）=6t²-10t；
∴S與t之間的函數(shù)關(guān)系式為：S=

t2      (0＜t≤2) 6t2-10t  (2＜t≤3)

；

（3）存在．
理由：∵∠OPC=∠OQC，
∴點(diǎn)O，P，Q，C共圓，
∴∠PQC+∠POC=180°，
∴∠PQC=90°，
∴∠BQC+∠AQP=90°，
∵∠CBD=∠PAQ=90°，
∴∠BQC+∠BCQ=90°，
∴∠BCQ=∠PQA，
∴△BCQ∽△AQP，
∴

AP

BQ

=

AQ

BC

；
∵OP=2t，
∴AP=OA-OP=6-2t，
如圖3，當(dāng)0＜t≤2時(shí)，
∵AQ=t，
∴BQ=8-t，
∴

6-2t

8-t

=

t

6

，
解得：t=2或t=18（舍去）；
如圖4，當(dāng)2＜t≤3時(shí)，
∵AQ=6t-10，
∴BQ=8-（6t-10）=18-6t，
∴

6-2t

18-6t

=

6t-10

6

，
解得：t=2（舍去）．
綜上可得：當(dāng)t=2時(shí)，使得∠OPC=∠OQC．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式、矩形的性質(zhì)、三角函數(shù)的定義以及相似三角形的判定與性質(zhì)．此題難度較大，注意掌握方程思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．