Question

【題目】已知在△ABC中，∠BAC=60°，點P為邊BC的中點，分別以AB和AC為斜邊向外作Rt△ABD和Rt△ACE，且∠DAB=∠EAC=α，連結PD，PE，DE．

（1）如圖1，若α=45°，則=　 　；

（2）如圖2，若α為任意角度，求證：∠PDE=α；

（3）如圖3，若α=15°，AB=8，AC=6，則△PDE的面積為　 　．

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析；（3）.

【解析】試題分析：(1) 分別取AB、AC中點F、G，連接DF、PF、PG、EG，證明AFPG為平行四邊形，再證明△DFP和△PGE全等，再證明∠DPE=90°，最后得到△DEP是等腰直角三角形.

(2)類似（1）證明四邊形AFPG為平行四邊形，證明△DFP和△PGE全等，再證明∠DPE=180°﹣∠DFB，∠DFA=180°﹣∠DFB，所以∠DPE=∠DFA，所以等腰三角形DPE和等腰三角形ADF中，∠PDE=∠DAF=α.

（3）同理（1）求出DP=EP長度，由（2）可得，∠PDE=α=15°=∠PED，過點E作DP的垂線，交DP的延長線于H，則∠EPH=30°，所以可求得EH= PE= ，所以可以得到△PDE的面積.

試題分析：

解：（1）分別取AB、AC中點F、G，連接DF、PF、PG、EG，則根據(jù)三角形中位線定理可得，AF=PG，AG=PF，即四邊形AFPG為平行四邊形，

∴∠PFB=∠BAC=∠PGC=60°，∵Rt△ABD和Rt△ACE中，∠DAB=∠EAC=α=45°，

∴△ABD和△ACE都是等腰直角三角形，∴DF⊥AB，EG⊥AC，且DF=AF=PG，PF=AG=EG，∴∠DFP=∠PGE=150°，

在△DFP和△PGE中， ,

∴△DFP≌△PGE（SAS），

∴DP=PE，∠GPE=∠FDP，

∵△DPF中，∠FDP+∠DPF+∠PFB=90°，而∠PFB=∠FPG，

∴∠GPE+∠DPF+∠FPG=90°，即∠DPE=90°，

∴△DEP是等腰直角三角形，∴.

（2）證明：分別取AB、AC中點F、G，連接DF、PF、PG、EG，則根據(jù)三角形中位線定理可得，AF=PG，AG=PF，即四邊形AFPG為平行四邊形，

∴∠PFB=∠BAC=∠PGC=60°，∵Rt△ABD和Rt△ACE中，DF=AF，GE=AG，∴DF=PG，PF=EG，∠DFB=2∠DAF=2α，∠EGC=2∠CAE=2α，

∴∠DFP=∠PGE，在△DFP和△PGE中， ，

∴△DFP≌△PGE（SAS），∴DP=PE，∠GPE=∠FDP，

∵在△DFP中，∠FDP+∠DPF+∠PFB=180°﹣∠DFB，而∠PFB=∠FPG，∴∠GPE+∠DPF+∠FPG=180°﹣∠DFB，即∠DPE=180°﹣∠DFB，

又∵∠DFA=180°﹣∠DFB，∴∠DPE=∠DFA，

∴在等腰三角形DPE和等腰三角形ADF中，∠PDE=∠DAF=α.

（3）分別取AB、AC中點F、G，連接DF、PF、PG、EG，則根據(jù)三角形中位線定理可得，AF=PG=4，AG=PF=3，即四邊形AFPG為平行四邊形，∴∠PFB=∠BAC=∠PGC=60°,

∵Rt△ABD和Rt△ACE中，DF=AF，GE=AG，∴DF=PG=4，PF=EG=3，∠DFB=2∠DAF=2α=30°，∠EGC=2∠CAE=2α=30°，∴∠DFP=∠PGE=90°，

∴DP=EP= =5，

由（2）可得，∠PDE=α=15°=∠PED，過點E作DP的垂線，交DP的延長線于H，則∠EPH=30°，∴EH= PE= ，∴△PDE的面積= ×DP×EH= ×5×= ．