Question

如圖，經(jīng)過點(diǎn)A（0，-4）的拋物線y=

1

2

x²+bx+c與x軸相交于B（-2，0），C兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)；
（1）求拋物線的解析式并用配方法求頂點(diǎn)M的坐標(biāo)；
（2）若拋物線上有一點(diǎn)P，使∠PCB=∠ABC，求P點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）將拋物線y=

1

2

x²+bx+c向上平移

7

2

個單位長度，再向左平移m（m＞0）個單位長度得到新拋物線，若新拋物線的頂點(diǎn)M在△ABC內(nèi)，直接寫出m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題,解一元一次不等式組,待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式,二次函數(shù)的性質(zhì),待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式

專題：綜合題

分析：（1）只需運(yùn)用待定系數(shù)法就可求出拋物線的解析式，然后用配方法就可求出頂點(diǎn)M的坐標(biāo)；
（2）可分點(diǎn)P在x軸的下方和上方兩種情況討論，當(dāng)點(diǎn)P在x軸下方時，根據(jù)拋物線的軸對稱性得到點(diǎn)P的坐標(biāo)；當(dāng)點(diǎn)P在x軸上方時，直線PC與直線AB平行，可用待定系數(shù)法求出直線AB的解析式，然后再根據(jù)兩平行直線一次項(xiàng)的系數(shù)相同，求出直線PC的解析式，然后只需求出直線PC與拋物線的交點(diǎn)坐標(biāo)，就可解決問題；
（3）根據(jù)條件可得新拋物線的頂點(diǎn)M坐標(biāo)為（1-m，-1），故點(diǎn)M始終在直線y=-1上．設(shè)直線y=-1與直線AB交于點(diǎn)P，與直線AC交于點(diǎn)Q，由點(diǎn)M在△ABC內(nèi)可得點(diǎn)M在線段PQ上（不包括端點(diǎn)P、Q），只需求出點(diǎn)P、Q的坐標(biāo)，就可解決問題．

解答：解：（1）∵點(diǎn)A（0，-4）、B（-2，0）在拋物線y=

1

2

x²+bx+c上，
∴

c=-4 2-2b+c=0

，
解得：

b=-1 c=-4

，
∴拋物線的解析式為y=

1

2

x²-x-4．
∵y=

1

2

x²-x-4=

1

2

（x²-2x+1-1）-4=

1

2

（x-1）²-

9

2

，
∴拋物線的頂點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1，-

9

2

）；

（2）①點(diǎn)P在x軸的下方，如圖1，

∵∠PCB=∠ABC，點(diǎn)B與點(diǎn)C關(guān)于對稱軸x=1對稱，
∴點(diǎn)A（0，-4）與點(diǎn)P也關(guān)于對稱軸x=1對稱，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，-4）；
②點(diǎn)P在x軸的上方，直線PC記為直線l，如圖2，

令y=0，得

1

2

（x-1）²-

9

2

=0，
解得：x₁=-2，x₂=4，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（4，0）．
設(shè)直線AB的解析式為y=kx+t，
則有

-2k+t=0 t=-4

，
解得：

k=-2 t=-4

，
∴直線AB的解析式為y=-2x-4．
∵∠PCB=∠ABC，
∴直線AB∥直線l，
∴直線l可設(shè)為y=-2x+n，
∵點(diǎn)C（4，0）在直線y=-2x+n上，
∴-8+n=0，
∴n=8，
∴直線l的解析式為y=-2x+8，
解方程組

y=-2x+8 y= 1 2 x2-x-4

，
得

x1=-6 y1=20

或

x2=4 y2=0

，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-6，20）．
綜上所述：點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，-4）或（-6，20）；

（3）m的取值范圍為-2＜m＜

5

2

．
解題過程如下：
由題可得新拋物線頂點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1-m，-

9

2

+

7

2

）即（1-m，-1）．
設(shè)直線AC的解析式為y=px+q，
則有

4p+q=0 q=-4

，
解得：

p=1 q=-4

，
∴直線AC的解析式為y=x-4．
設(shè)直線y=-1與直線AB交于點(diǎn)P，與直線AC交于點(diǎn)Q，如圖3，

由-2x-4=-1，得x=-

3

2

，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-

3

2

，-1）；
由x-4=-1，得x=3，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為（3，-1）．
∵新拋物線的頂點(diǎn)M（1-m，-1）在△ABC內(nèi)，
∴點(diǎn)M在線段PQ上（不包括端點(diǎn)P、Q），
∴

1-m＞- 3 2 1-m＜3

，
解得：-2＜m＜

5

2

．

點(diǎn)評：本題主要考查了用待定系數(shù)法求拋物線及直線的解析式、拋物線的軸對稱性、解不等式組等知識，正確進(jìn)行分類是解決第（2）小題的關(guān)鍵，考慮臨界位置是解決第（3）小題的關(guān)鍵．