Question

如圖，兩個(gè)邊長(zhǎng)均為2的正方形ABCD和正方形CDEF，點(diǎn)B、C、F在同一直線上，一直角三角板的直角頂點(diǎn)放置在D點(diǎn)處，DP交AB于點(diǎn)M，DQ交BF于點(diǎn)N．

（1）求證：△DBM≌△DFN；（4分）

（2）延長(zhǎng)正方形的邊CB和EF，分別與直角三角板的兩邊DP、DQ（或它們的延長(zhǎng)線）交于點(diǎn)G和點(diǎn)H，試探究下列問題：

①線段BG與FH相等嗎？說明理由；（4分）

②當(dāng)線段FN的長(zhǎng)是方程的一根時(shí)，試求出的值．（4分）

 

 

Answer 1

（1）證明見解析；

（2）①BG=FH．理由見解析；

②．

【解析】

試題分析：（1）如圖1，根據(jù)正方形的性質(zhì)就可得出BD=FD，∠ADB=∠CDF=∠ADB=∠CFD=45°，由直角三角形的性質(zhì)就可以得出∠1=∠ADM，進(jìn)而得出∠3=∠4，由ASA就可以得出結(jié)論；

（2）①如圖1，根據(jù)正方形的性質(zhì)及直角三角形的性質(zhì)就可以得出△GCD≌△HED就有CG=EH，由等式的性質(zhì)就可以得出結(jié)論；

②先解方程x2+2x﹣3=0就可以求出FN=1，得出CN=1，如圖2，就可以得出△CND≌△FNH，得出CD=FH=2，就可以得出GB=2，GN=5，由勾股定理就可以求出NH的值，進(jìn)而得出結(jié)論．

試題解析：（1）如圖1，

∵四邊形ABCD和四邊形CDEF是正方形，

∴BC=FC，BD=FD，∠ABD=∠ADB=∠CDF=∠ADB=∠CFD=45°，∠DCB=∠DEF=∠E=∠HFN=∠ADC=90°．

∴∠ADM+∠CDM=90°，

∵∠PDQ=90°，

∴∠CDM+∠CDN=90°．

∴∠ADM=∠CDN．

∴∠ADB﹣∠ADM=∠CDF﹣∠CDN，

∴∠MDB=∠NDF．

在△DBM和△DFN中，

，

∴△DBM≌△DFN（ASA）；

（2）①四邊形ABCD和四邊形CDEF是正方形，

∴BC=FC=EF，BD=FD，∠ABD=∠ADB=∠CDF=∠ADB=∠CFD=45°，∠DCB=∠DEF=∠CDE=∠E=∠HFN=∠ADC=90°．

∴∠EDH+∠1=90°，

∵∠PDQ=90°，

∴∠CDM+∠1=90°．

∴∠CDM=∠EDH．

在△CDG和△EDH中，

，

∴△CDG≌△EDH（ASA），

∴CG=EH，

∴CG﹣CB=EH﹣EF，

∴BG=FH．

②∵x2+2x﹣3=0，

∴x1=1，x2=﹣3．

∵FN的長(zhǎng)是方程x2+2x﹣3=0的一根，

∴FN=1．

∴CN=1，

∴CN=FN．

如圖2，

在△CND和△FNH中，

，

∴△CND≌△FNH（ASA），

∴CD=FH=2，

∴GB=2，

∴GN=5．

在Rt△FNH中，由勾股定理，得NH=．

∴．

考點(diǎn)：四邊形綜合題．