Question

如圖，在△ABC中，AB=BC，以AB為直徑的⊙0與AC于點(diǎn)D，作DE⊥BC垂足為E，延長ED交BA的延長線于點(diǎn)F．
（1）求證：EF是圓O的切線；
（2）若 BE=12，AF=8，求BC的長．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的判定,相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）連接BD、OD，由BD是直徑，得∠BDA=90°，根據(jù)AB=BC，得AD=DC，從而可證明OD⊥EF，即EF是圓O的切線；
（2）由OD∥BC，得△FOD相似△FBE，設(shè)OD=r 則AB=2r，即

OD

BE

=

OF

FB

即

8+r

8+2r

=

r

12

，即可得出r，從而得出BC的長．

解答：（1）證明：連接BD、OD，
∵BD是直徑，
∴∠BDA=90°，
∵AB=BC，
∴AD=DC，
又∵BO=AO，
∴OD∥BC，
∵EF⊥BC，
∴OD⊥EF，
∴EF是圓O的切線；
（2）設(shè)OD=r 則AB=2r，
∵OD∥BC，
∴△FOD∽△FBE，

OD

BE

=

OF

FB

，
∵BE=12，AF=8，
即

8+r

8+2r

=

r

12

，
解得：r=8  或r=-6（舍去），
∵AB=BC，
∴AB=BC=16．

點(diǎn)評：本題考查了切線的判定以及相似三角形的判定和性質(zhì)，注意各知識點(diǎn)之間的綜合運(yùn)用．