Question

已知在平行四邊形ABCD中，AE⊥BC，垂足為E，CE=CD，F(xiàn)為CE的中點，G為CD上的一點，連接DF、EG、AG，并延長AG、BC交于點H，∠DFC=∠EGC．
（1）若CF=2，AE=3，求BE的長；
（2）求證：點G為CD中點；
（3）求證：∠AGE=2∠CEG．

Answer 1

考點：平行四邊形的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）求出DC=CE=2CF=4，求出AB，根據(jù)勾股定理求出BE即可；
（2）過G作GM⊥AE于M，證△DCF≌△ECG，推出CG=CF，求出M為AE中點，
（3）由（2）可得出等腰三角形AGE，根據(jù)性質(zhì)得出GM是∠AGE的角平分線，即可得出答案．

解答：（1）解：∵CE=CD，點F為CE的中點，CF=2，
∴DC=CE=2CF=4，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB=CD=4，
∵AE⊥BC，
∴∠AEB=90°，
在Rt△ABE中，由勾股定理得：BE=

AB2-AE2

=

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；

（2）證明：過G作GM⊥AE于M，
∵AE⊥BE，GM⊥AE，
∴GM∥BC∥AD，
∵在△DCF和△ECG中，

∠1=∠2  ∠C=∠C  CD=CE

，
∴△DCF≌△ECG（AAS），
∴CG=CF，
∵CE=CD，CE=2CF，
∴CD=2CG，
即G為CD中點；

（3）∵AD∥GM∥BC，G為CD中點，
∴M為AE中點，
∴AM=EM，
∵GM⊥AE，
∴AG=EG，
∴∠AGM=∠EGM，
∴∠AGE=2∠MGE，
∵GM∥BC，
∴∠EGM=∠CEG，
∴∠AGE=2∠CEG．

點評：本題考查了平行四邊形性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)和判定，平行線分線段成比例定理，全等三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理等知識點的應(yīng)用，主要考查學(xué)生綜合運用定理進行推理的能力．