Question

方程（x-1）²+（y-1）²=xy+7的所有正整數(shù)解有（　�。┙M．

• A、1
• B、2
• C、3
• D、4

Answer 1

考點(diǎn)：非一次不定方程（組）

專題：

分析：根據(jù)x、y的對稱性，可以分別給出x的正整數(shù)值，求得y的值，即可判斷．

解答：解：∵（x-1）²+（y-1）²=xy+7，
∴（x-1）²+（y-1）²-xy-7=0，
∵0=（x-1）²+（y-1）²-xy-7≥2（x-1）（y-1）-xy-7，
∴2（x-1）（y-1）-xy-7≤0，
即（x-2）（y-2）≤9．
當(dāng)x=1時(shí)，代入（x-1）²+（y-1）²=xy+7得：（y-1）²=y+7，此時(shí)y不是整數(shù)．
同理，當(dāng)y=1時(shí)，x不是整數(shù)；
當(dāng)x=2時(shí)，把x=2代入（x-1）²+（y-1）²=xy+7得，1+（y-1）²=2y+7，解得：y=5或-1（舍去），
則方程有正整數(shù)解：

x=2 y=5

，
同理，有正整數(shù)解

x=5 y=2

；
當(dāng)x=3時(shí)，代入（x-1）²+（y-1）²=xy+7得：4+（y-1）²=3y+7，解得：y=

5± 33

2

（舍去）；
同理，當(dāng)y=3時(shí)，也沒有正整數(shù)解；
當(dāng)x=4時(shí)，代入（x-1）²+（y-1）²=xy+7得：9+（y-1）²=4y+7，解得：y=3±

6

，
同理，當(dāng)y=4時(shí)，也沒有正整數(shù)解；
當(dāng)x=5時(shí)，代入（x-1）²+（y-1）²=xy+7得：16+（y-1）²=5y+7，解得：y=5或2．
則方程有正整數(shù)解

x=5 y=5

，

x=5 y=2

．
同理，當(dāng)y=5時(shí)，有整數(shù)解：

x=5 y=5

和

x=2 y=5

；
當(dāng)x≥6時(shí)，y一定有y≥6，則（x-2）（y-2）≤9不成立，此時(shí)方程無解．
則方程的正整數(shù)解是：

x=2 y=5

，

x=5 y=2

，

x=5 y=5

共有3組．
故選C．

點(diǎn)評：本題考查了方程的正整數(shù)解，理解x、y的關(guān)系：讓x=a時(shí)，求得y的值，與當(dāng)y=a時(shí)，求得x的值，則x和值和y的值是相等的，理解這一性質(zhì)是關(guān)鍵．