【題目】二次函數(shù)=++的頂點(diǎn)M是直線=-和直線=+的交點(diǎn).
(1)若直線=+過點(diǎn)D(0,-3),求M點(diǎn)的坐標(biāo)及二次函數(shù)=++的解析式;
(2)試證明無論取任何值,二次函數(shù)=++的圖象與直線=+總有兩個不同的交點(diǎn);
(3)在(1)的條件下,若二次函數(shù)=++的圖象與軸交于點(diǎn)C,與的右交點(diǎn)為A,試在直線=-上求異于M的點(diǎn)P,使P在△CMA的外接圓上.
【答案】(1)M點(diǎn)坐標(biāo)為M(2,-1),二次函數(shù)=++的解析式為: =-4+3;
(2)證明見解析;
(3)P(-, )
【解析】(本小題滿分14分)
解:(1)把D(0,-3)坐標(biāo)代入直線=+中,
得=-3,從而得直線=-3.……………………………………………1分
由M為直線=-與直線=-3的交點(diǎn),
得,………………………………………………………………………2分
解得,∴得M點(diǎn)坐標(biāo)為M(2,-1).…………………………………3分
∵M為二次函數(shù)=++的頂點(diǎn),∴其對稱軸為=2,
由對稱軸公式: =-,得-=2,∴=-4;
由=-1,得=-1,得=3.
∴二次函數(shù)=++的解析式為: =-4+3;………………4分
[也可用頂點(diǎn)式求得解析式:由M(2,-1),
得=-1,展開得=-4+3]
(2)∵M是直線=-和=+的交點(diǎn),得,
解得,∴得M點(diǎn)坐標(biāo)為M(-, ).…………………………1分
從而有-=-和=,
解得=; =+.…………………………………………………3分
由,得+(-1)+-=0,……………………4分
該一元二次方程根的判別式
⊿=(-1)2-4(-)
=(-1)2-4(+-)=1>0,…………………………5分
∴二次函數(shù)=++的圖象與直線=+總有兩個不同的交點(diǎn);
(3)解法①:
由(1)知,二次函數(shù)的解析式為: =-4+3,
當(dāng)=0時, =3.∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為C(0,3).……………………………1分
令=0,即-4+3=0,解得=1, =3,
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為A(3,0).………………………………………………………2分
由勾股定理,得AC=3.∵M點(diǎn)的坐標(biāo)為M(2,-1),
過M點(diǎn)作軸的垂線,垂足的坐標(biāo)應(yīng)為(2,0),由勾股定理,
得AM=;過M點(diǎn)作軸的垂線,垂足的坐標(biāo)應(yīng)為(0,-1),
由勾股定理,得CM===2.
∵AC2+AM2=20=CM2,∴△CMA是直角三角形,……………………3分
CM為斜邊,∠CAM=90°.
直線=-與△CMA的外接圓的一個交點(diǎn)為M,另一個交點(diǎn)為P,
則∠CPM=90°.即△CPM為Rt△.………………………………………4分
設(shè)P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為,則P(,- ).過點(diǎn)P作軸垂線,
過點(diǎn)M作軸垂線,兩條垂線交于點(diǎn)E(如圖4),則E(,-1).
過P作PF⊥軸于點(diǎn)F,則F(0,- ).
在Rt△PEM中,PM2=PE2+EM2
=(-+1)2+(2-)2=-5+5.
在Rt△PCF中,PC2=PF2+CF2=+(3+)2
=+3+9.在Rt△PCM中,PC2+PM2=CM2,
得+3+9+-5+5=20,
化簡整理得5-4-12=0,解得=2, =-.
當(dāng)=2時, =-1,即為M點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo).
∴P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為-,縱坐標(biāo)為.
∴P(-, ).……………………………………………………………………5分
解法②[運(yùn)用現(xiàn)行高中基本知識(解析幾何):線段中點(diǎn)公式及兩點(diǎn)間距離公式]:
設(shè)線段CM的中點(diǎn)(即△CMA內(nèi)接圓的圓心)為H,則由線段中點(diǎn)公式,可求出H的坐標(biāo)為H(1,1).∵點(diǎn)P在⊙H上,∴點(diǎn)P到圓心H的距離等于半徑.
設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為:P(,- ),由兩點(diǎn)間的距離公式,得PH的長度為:
,從而有: =,即
=5,化簡,整理,得化簡整理得5-4-12=0,解得=2, =-.當(dāng)=2時, =-1,即為M點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo).
∴P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為-,縱坐標(biāo)為.
∴P(-, ).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某校要從小王和小李兩名同學(xué)中挑選一人參加全市知識競賽,在最近的五次選拔測試中,他倆的成績分別如下表:
次數(shù) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
小王 | 60 | 75 | 100 | 90 | 75 |
小李 | 70 | 90 | 100 | 80 | 80 |
根據(jù)上表解答下列問題:
(1)完成下表:
姓名 | 平均成績(分) | 中位數(shù)(分) | 眾數(shù)(分) | 方差 |
小王 | 80 | 75 | 75 | 190 |
小李 |
(2)在這五次測試中,成績比較穩(wěn)定的同學(xué)是誰?若將80分以上(含80分)的成績視為優(yōu)秀,則小王、小李在這五次測試中的優(yōu)秀率各是多少?
(3)歷屆比賽表明,成績達(dá)到80分以上(含80分)就很可能獲獎,成績達(dá)到90分以上(含90分)就很可能獲得一等獎,那么你認(rèn)為選誰參加比賽比較合適?說明你的理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某村原有林地108公頃,旱地54公頃,為保護(hù)環(huán)境,需把一部分旱地改造為林地,使旱地面積占林地面積的20%.設(shè)把x公頃旱地改為林地,則可列方程( 。
A.54﹣x=20%×108
B.54﹣x=20%(108+x)
C.54+x=20%×162
D.108﹣x=20%(54+x)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,⊙O的半徑OA⊥OC,點(diǎn)D在上,且=2,OA=4.
(1)∠COD= °;
(2)求弦AD的長;
(3)P是半徑OC上一動點(diǎn),連結(jié)AP、PD,請求出AP+PD的最小值,并說明理由.
(解答上面各題時,請按題意,自行補(bǔ)足圖形)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】把下列各數(shù)分別填入相應(yīng)的集合內(nèi):
﹣2.5,0,8,﹣2, , , ﹣0.5252252225…(每兩個5之間依次增加1個2).
(1)正數(shù)集合:{ …};
(2)負(fù)數(shù)集合:{ …};
(3)整數(shù)集合:{ …};
(4)無理數(shù)集合:{ …}.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某商品經(jīng)過兩次連續(xù)漲價,每件售價由原來的100元漲到了179元,設(shè)平均每次漲價的百分比為x,那么可列方程:______
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】綜合題。
(1)如圖1,在△ABC中,AB=AC,CD⊥AB于D,BE⊥AC于E,試證明:CD=BE.
(2)如圖2,在△ABC中,仍然有條件“AB=AC,點(diǎn)D,E分別在AB和AC上”.若∠ADC+∠AEB=180°,則CD與BE是否仍相等?若相等,請證明;若不相等,請舉反例說明.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】小敏從A地出發(fā)向B地行走,同時小聰從B地出發(fā)向A地行走,如圖所示,相交于點(diǎn)P的兩條線段l1、l2分別表示小敏、小聰離B地的距離y(km)與已用時間x(h)之間的關(guān)系,則小敏、小聰行走的速度分別是( )
A. 3km/h和4km/h B. 3km/h和3km/h
C. 4km/h和4km/h D. 4km/h和3km/h
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】今年參加我市初中畢業(yè)生學(xué)業(yè)考試的總?cè)藬?shù)約為56000人,這個數(shù)據(jù)用科學(xué)記數(shù)法表示為( )
A.5.6×103
B.5.6×104
C.5.6×105
D.0.56×105
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