Question

圖1所示的遮陽傘，傘的外邊緣是一個正八邊形，傘炳垂直于水平地面，其示意圖如圖2．當(dāng)傘收緊時，點(diǎn)P與點(diǎn)A重合；當(dāng)傘慢慢撐開時，動點(diǎn)P由A向B移動；當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)B時，傘張得最開．已知傘在撐開的過程中，總有PM=PN=CM=CN=6.0分米，CE=CF=18.0分米，BC=2.0分米

（1）當(dāng)∠CPN=60°時，求AP的長度；
（2）求陽光直射下傘的陰影（正八邊形）面積的最大值．（精確到0.1分米）

Answer 1

考點(diǎn)：相似三角形的應(yīng)用

專題：

分析：（1）根據(jù)等邊△PCN的判定和性質(zhì)即可求解；
（2）首先求出EH²的最值，進(jìn)而利用正八邊形的性質(zhì)求出S_△HEG的值，即可得出答案．

解答：解：（1）∵CN=PN，∠CPN=60°，AC=CN+PN=12分米，
∴△PCN等邊三角形．
∴CP=6分米．
∴AP=AC-PC=12-6=6（分米）．
即當(dāng)∠CPN=60°時，AP=6分米；

（2）如圖1，

連接MN，EF，分別交AC于B，H，
∵PM=PN=CM=CN，
∴四邊形PNCM是菱形，
設(shè)AP=x，
∴MN與PC互相垂直平分，AC是∠ECF的平分線，
PB=

PC

2

=

12-x

2

=6-

1

2

x，
在Rt△MBP中，PM=6分米，
故MB²=PM²-PB²=6²-（6-

1

2

x）²=6x-

1

4

x²，
∵EC=CF，AC是∠ECF的平分線，
∴EH=HF，EF⊥AC，
∵∠ECFH=∠MCB，∠EHC=∠MBC=90°，
∴△CMB∽△CEH，
∴

MB

EH

=

CM

CE

，
∴

MB2

EH2

=

1

9

，
∴EH²=9MB²=9×（6x-

1

4

x²）=-

9

4

（x-12）²+324，
∵BC=2，AC=12，
∴AP最大值為10，
則EH²的最大值為：x=10時，-

9

4

（10-12）²+324=315，
如圖2，

∵在正八邊形中，GE=2FE=2EH•sin22.5°，F(xiàn)H=EH•cos22.5°，
∴S_△HEG=

1

2

HF×GE
=

1

2

×2EH•sin22.5°×EH•cos22.5°
=HE²×sin45°
=

2

4

HE²，
故陽光直射下傘的陰影（正八邊形）面積的最大值為：8×

2

4

HE²=8×

2

4

×315=630

2

≈888.3（平方分米）．

點(diǎn)評：此題主要考查了相似三角形的性質(zhì)以及正八邊形的性質(zhì)和銳角三角函數(shù)關(guān)系等知識，得出EH²的最大值是解題關(guān)鍵．