Question

如圖，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAC=∠ADC=90°，AB=AC，CE平分∠ACB交AB于點E，F(xiàn)為BC上一點，BF=AE，連接AF交CE于點G，連接DG交AC于點H．下列結(jié)論：
①AF⊥CE；②△ABF∽△DGA；③AF=

2

DH；④S四邊形ADCG=

1

2

DG2．
其中正確的結(jié)論有

 

．

Answer 1

考點：相似三角形的判定與性質(zhì),直角梯形

專題：壓軸題

分析：先判斷出△ABC是等腰直角三角形，過點E作EF′⊥BC于F′，根據(jù)角平分線上的點到角的兩邊的距離相等可得AE=EF′，再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得BF′=EF′，從而確定點F、F′重合，再利用“HL”證明△ACE和△FCE全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得AC=CF，根據(jù)等腰三角形三線合一的可得AF⊥CE，判斷出①正確；求出∠AFC=∠FAC=67.5°，再求出∠DAG=∠AFB=112.5°，∠BAF=∠ACE=22.5°，再根據(jù)點A、G、C、D四點共圓得到∠ADG=∠ACE，然后利用兩組角對應(yīng)相等，兩三角形相似判斷出②正確；求出△ACF和△HCD相似，利用相似三角形對應(yīng)邊成比例列式求解即可得到AF=

2

DH，判斷出③正確；根據(jù)S_{四邊形ADCG}=S_△ACG+S_△ADC，利用三角形的面積列出整理成AF•DG的形式，再把AF用DG表示，然后代入進行計算即可判斷④正確．

解答：解：∵∠BAC=∠ADC=90°，AB=AC，
∴△ABC是等腰直角三角形，
過點E作EF′⊥BC于F′，
則△BEF′是等腰直角三角形，
∴BF′=EF′，
∵CE平分∠ACB，
∴AE=EF′，
∴AE=BF′，
∵BF=AE，
∴BF=BF′，
∴點F、F′重合，
在△ACE和△FCE中，

CE=CE AE=EF

，
∴△ACE≌△FCE（HL），
∴AC=CF，
∵CE平分∠ACB，
∴AF⊥CE，故①正確；

∵∠AFC=∠FAC=90°-

1

2

×45°=67.5°，
∴∠DAG=∠AFB=112.5°，
∠BAF=∠ACE=

1

2

×45°=22.5°，
∵∠AGC=90°，∠ADC=90°，
∴點A、G、C、D四點共圓，AC是直徑，
∴∠ADG=∠ACE=22.5°，
∴∠ADG=∠BAF，
∴△ABF∽△DGA，故②正確；

∵∠CDH=90°-∠ADG=90°-22.5°=67.5°，
∴∠CDH=∠FAC=67.5°，
又∵∠ACF=∠ACD=45°，
∴△ACF∽△HCD，
∴

AF

DH

=

AC

CD

，
∵△ACD中，∠ACD=90°-45°=45°，∠ADC=90°，
∴△ACD是等腰直角三角形，
∴AC=

2

CD，
∴AF=

2

DH，故③正確；

∵∠GDC=∠GCD=90°-22.5°=67.5°，
∴DG=CG，
∵△ABF∽△DGA，
∴

AD

AF

=

DG

AB

，
∴AF•DG=AD•AB=AD•

2

AD=

2

AD²，
∴AD²=

2

2

AF•DG，
S_{四邊形ADCG}=S_△ACG+S_△ADC，
=

1

2

AG•CG+

1

2

AD•CD，
=

1

2

×

1

2

AF•DG+

1

2

×

2

2

AF•DG，
=

2 +1

4

AF•DG，
∵DG=DH+GH=DH+AG=

2

2

AF+

1

2

AF=

2 +1

2

AF，
∴AF=

2

2 +1

DG，
∴S_{四邊形ADCG}=

2 +1

4

×

2

2 +1

DG•DG=

1

2

DG²，故④正確．
綜上所述，正確的結(jié)論有①②③④．
故答案為：①②③④．

點評：本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，直角梯形，根據(jù)角的度數(shù)22.5°和67.5°求出相等的角是解題的關(guān)鍵，也是本題的難點．