【題目】如圖,O為正方形ABCD對角線的交點,EAB邊上一點,FBC邊上一點,△EBF的周長等于BC的長.

(1)若AB=12,BE=3,求EF的長;

(2)求∠EOF的度數(shù);

(3)若OE=OF,求的值.

【答案】(1)EF =5;(2)∠EOF=45°;(3)

【解析】

(1)設BF=x,則FC=BC﹣BF=12﹣x,根據(jù)BE=3,且BE+BF+EF=BC,表示出

EF,在RtBEF中,根據(jù)勾股定理即可求出,即可求出EF的長;

(2)如圖,在FC上截取FM=FE,連接OM,分別證明OBE≌△OCM,OFE≌△OFM,根據(jù)全等三角形的性質即可求出∠EOF的度數(shù);

(3)證明AOE∽△CFO.根據(jù)相似三角形的性質得到

即可求出的值.

(1)設BF=x,則FC=BC﹣BF=12﹣x,

BE=3,且BE+BF+EF=BC,

EF=9﹣x,

RtBEF中,由BE2+BF2=EF2可得32+x2=(9﹣x)2

解得:x=4,

EF=9﹣x=5;

(2)如圖,在FC上截取FM=FE,連接OM,

CEBF的周長=BE+EF+BF=BC,則BE+EF+BF=BF+FM+MC,

BE=MC,

O為正方形中心,

OB=OC,OBE=OCM=45°,

OBEOCM中,

∴△OBE≌△OCM,

∴∠EOB=MOC,OE=OM,

∴∠EOB+BOM=MOC+BOM,即∠EOM=BOC=90°,

OFEOFM中,

∴△OFE≌△OFM(SSS),

(3)證明:由(2)可知:∠EOF=45°,

∴∠AOE+FOC=135°,

∵∠EAO=45°,

∴∠AOE+AEO=135°,

∴∠FOC=AEO,

∵∠EAO=OCF=45°,

∴△AOE∽△CFO.

AO=CO,

練習冊系列答案
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