【題目】如圖,已知矩形,在上取兩點在左邊),以為邊作等邊三角形,使頂點在上.
(1)求△PEF的邊長;
(2)若△PEF的邊在線段上移動.分別交于點.求證:.
【答案】(1)邊長為;(2)證明見解析.
【解析】
(1)要求△PEF的邊長,需構(gòu)造直角三角形,那么就過P作PQ⊥BC于Q.利用∠PFQ的正弦值可求出PF,即△PEF的邊長;
(2)利用∠1的正切值可求出∠1的度數(shù),再由∠PFE=60°,可得出△HFC是等腰三角形,因此就有BE+EF+CF=BE+PH+2FH=3.再把其中FH用PH表示,化簡即可.
(1)過P作PQ⊥BC于Q.
∵矩形ABCD中,∠B=90°,即AB⊥BC.
又∵AD∥BC,
∴PQ=AB.
∵△PEF是等邊三角形,
∴∠PFQ=60°.
在Rt△PQF中,PF2,
∴△PEF的邊長為2;
(2)在Rt△ABC中,AB,BC=3,
∴AC,
∴tan∠1=,
∴∠1=30°.
∵△PEF是等邊三角形,
∴∠PFE=60°,PF=EF=2.
∵∠PFE=∠1+∠4,
∴∠4=30°,
∴∠1=∠4,
∴FC=FH.
∵PH+FH=2,BE+FC=3﹣EF=3﹣2=1,
∴PH﹣BE=(PH+FH)-(BE+FC)=1.
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【題目】如圖,每個小正方形的邊長都是1的方格紙中,有線段AC和EF,點A、C、E、F都在小正方形的頂點上.
(1)在方格紙中畫出一個以線段AC為對角線的正方形ABCD,所畫的正方形的各頂點必須在小正方形的頂點上.
(2)在方格紙中以EF為腰畫出等腰三角形△EFM,點M在小正方形的頂點上,且MF=MC.
(3)在(1)、(2)的條件下,連接MA,請直接寫出線段MA的長.
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【題目】某農(nóng)戶承包荒山種了44棵蘋果樹.現(xiàn)在進(jìn)入第三年收獲期.收獲時,先隨意摘了5棵樹上的蘋果,稱得每棵樹摘得的蘋果重量如下(單位:千克)35 35 34 39 37
(1)在這個問題中,總體指的是?個體指的是?樣本是?樣本容量是?
(2)試根據(jù)樣本平均數(shù)去估計總體情況,你認(rèn)為該農(nóng)戶可收獲蘋果大約多少千克?
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【題目】如圖,△ABC中,AB=8厘米,AC=16厘米,點P從A出發(fā),以每秒2厘米的速度向B運(yùn)動,點Q從C同時出發(fā),以每秒3厘米的速度向A運(yùn)動,其中一個動點到端點時,另一個動點也相應(yīng)停止運(yùn)動,那么,當(dāng)以A、P、Q為頂點的三角形與△ABC相似時,運(yùn)動時間是多少?
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【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,已知點A(―3,6)、B(―9,一3),以原點O為位似中心,相似比為,把△ABO縮小,則點A的對應(yīng)點A′的坐標(biāo)是( )
A.(―1,2)
B.(―9,18)
C.(―9,18)或(9,―18)
D.(―1,2)或(1,―2)
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【題目】如圖,在△ABC中,AB=BC,∠ABC=90°,BM是AC邊中線,點D,E分別在邊AC和BC上,DB=DE,EF⊥AC于點F,以下結(jié)論:①△BMD≌△DFE;②△NBE∽△DBC;③AC=2DF;④EFAB=CFBC,其中正確結(jié)論的個數(shù)是( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
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【題目】如圖,已知扇形AOB中,OA=3,∠AOB=120°,C是在上的動點.以BC為邊作正方形BCDE,當(dāng)點C從點A移動至點B時,點D經(jīng)過的路徑長是_____.
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【題目】已知拋物線y=ax2+ c(a≠0).
(1)若拋物線與x軸交于點B(4,0),且過點P(1,–3),求該拋物線的解析式;
(2)若a>0,c =0,OA、OB是過拋物線頂點的兩條互相垂直的直線,與拋物線分別交于A、B 兩點,求證:直線AB恒經(jīng)過定點(0,);
(3)若a>0,c <0,拋物線與x軸交于A,B兩點(A在B左邊),頂點為C,點P在拋物線上且位于第四象限.直線PA、PB與y軸分別交于M、N兩點.當(dāng)點P運(yùn)動時,是否為定值?若是,試求出該定值;若不是,請說明理由.
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