【題目】設(shè)ABC,點(diǎn)P是平面內(nèi)的任意一點(diǎn)(A、B、C三點(diǎn)除外),若點(diǎn)P與點(diǎn)A、B、C中任意兩點(diǎn)的連線的夾角為直角時(shí),則稱點(diǎn)PABC的一個(gè)勾股點(diǎn).

1)如圖1,若點(diǎn)PABC內(nèi)一點(diǎn),∠A50°,∠ACP10°,∠ABP30°,試說明點(diǎn)PABC的一個(gè)勾股點(diǎn).

2)如圖2,RtABC中,∠ACB90°,AC6,BC8,點(diǎn)DAB的中點(diǎn),點(diǎn)P在射線CD上,若點(diǎn)PABC的勾股點(diǎn),則CP   ;

3)如圖3,四邊形ABDC中,DBDA,∠BCD45°,AC,CD3.則點(diǎn)D能否是ABC的勾股點(diǎn),若能,求出BC的長:若不能,請(qǐng)說明理由.

【答案】(1)見解析;(210;(3)點(diǎn)D可以是ABC的勾股點(diǎn),BC的長是

【解析】

1)根據(jù)勾股點(diǎn)的定義可得結(jié)論;

2)若點(diǎn)P是△ABC的勾股點(diǎn),有三種情況:當(dāng)∠APC90°時(shí),當(dāng)∠BPC90°時(shí),當(dāng)∠APB90°時(shí),分別根據(jù)SACDSABC和直角三角形斜邊中線的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算即可;

3)存在,當(dāng)∠ADB90°時(shí),點(diǎn)D是△ABC的勾股點(diǎn),如圖5,作輔助線,構(gòu)建直角三角形,證明△AED≌△DFBAAS),得AEDF,根據(jù)等腰直角三角形計(jì)算AE的長,可得DF的長,可得結(jié)論.

1)∵∠A50°,∠ACP10°,∠ABP30°

∴∠PCB+PBC180°50°10°30°90°,

∴∠BPC90°,

∴點(diǎn)PABC的一個(gè)勾股點(diǎn);

2)點(diǎn)P在射線CD上,若點(diǎn)PABC的勾股點(diǎn),存在以下三種情況:

①如圖2,當(dāng)∠APC90°時(shí),AC6,BC8

AB10,

DAB的中點(diǎn),

CDAB5,

SACDSABCCDAP

,

AP

;

②如圖3,當(dāng)∠BPC90°時(shí),

SACDSABCCDBP,

,

BP

CP;

③如圖4,當(dāng)∠APB90°時(shí),

DAB的中點(diǎn),

PDAB5,

PC5+510,

綜上,PC的長是10;

故答案為:10;

3)存在,

當(dāng)∠ADB90°時(shí),點(diǎn)DABC的勾股點(diǎn),如圖5,過AAECD,交直線CDE,過BBFCDF,

∵∠ADB=∠ADE+BDF=∠BDF+DBF90°

∴∠ADE=∠DBF,

∵∠E=∠F90°ADBD,

∴△AED≌△DFBAAS),

AEDF

ADBD,

∴△ADB是等腰直角三角形,

∴∠DAB45°,

∵∠BCD45°

∴∠BCD=∠DAB,

A、B、D、C四點(diǎn)共圓,

∴∠ACB=∠ADB90°,

∴∠ACE45°,

AC

AECEDF,

CF,

BCCE;

綜上,點(diǎn)D可以是ABC的勾股點(diǎn),BC的長是

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A10名學(xué)生的成績繪成了條形統(tǒng)計(jì)圖,如下圖,

B10名學(xué)生的成績(單位:分)分別為:9,8,9,10,9,7,9,810,8

經(jīng)過老師對(duì)所抽取學(xué)生成績的整理與分析,得到了如下表數(shù)據(jù):

A

B

平均數(shù)

8.3

a

中位數(shù)

b

9

眾數(shù)

810

c

極差

4

3

方差

1.81

0.81

根據(jù)以上信息,解答下列問題.

1)補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖;

2)直接寫出表中ab,c的值:a   ,b   c   ;

3)根據(jù)以上數(shù)據(jù),你認(rèn)為A、B兩個(gè)班哪個(gè)班計(jì)算題掌握得更好?請(qǐng)說明理由(寫出其中兩條即可):   

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1)已知點(diǎn)E0,2),G(﹣1,﹣1).

①如圖1,直接寫出d(點(diǎn)E),d(點(diǎn)G)的值;

②如圖2,扇形EOF圓心角∠EOF=45°,將扇形EOF繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α角(0<α<180°)得到扇形E'OF',當(dāng)d(扇形E'OF')取最大值時(shí),求α角的取值范圍;

2)點(diǎn)P為平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn),且滿足d(點(diǎn)P=6,直接寫出OP長度的取值范圍.

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A.B.

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