【題目】如圖,在平面直角坐標系中,△ABC的頂點在坐標軸上,A,B,C三點的坐標分別為 (0,2),(1,0),(0,-0.5),D為線段AB上-個動點(不與點A,B重合),過B,D,0三點的圓與直線BC交于點E,當△OED面積取得最小值時,ED的長為________.
【答案】1
【解析】
如圖,先證明△AOB∽△BOC得到∠1=∠2,再判斷∠DBE=90°,利用圓周角定理可得到DE為過B,D,O三點的圓的直徑,從而得到∠DOE=90°,接著證明△AOD∽△BOE,利用相似比得到OD=2OE,根據(jù)三角形面積公式得到S△ODE=OE2,利用垂線段最短判斷當△OED面積取得最小值時,OE⊥CB,然后計算OE、OD,最后利用勾股定理計算對應的DE長.
如圖,
∵A,B,C三點的坐標分別為(0,2),(1,0),(0,-0.5),
∴OA=2,OB=1,OC=,
∵=2,
而∠AOB=∠BOC,
∴△AOB∽△BOC,
∴∠1=∠2,
∴∠ABC=∠2+∠5=∠1+∠5=90°,
∵∠DBE=90°,
∴DE為過B,D,O三點的圓的直徑,
∴∠DOE=90°,
∵∠3+∠BOD=∠4+∠BOD=90°,
∴∠3=∠4,
∵∠1=∠2,
∴△AOD∽△BOE,
∴,即OD=2OE,
∵S△ODE=ODOE=2OEOE=OE2,
當△OED面積取得最小值時,OE最小,此時OE⊥CB,
∵BC=,
∴OE==,
此時OD=2OE=,
∴DE=,
即當△OED面積取得最小值時,ED的長為1.
故答案為1.
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【題目】比較A組、B組中兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)及方差,一下說法正確的是( )
A.A組,B組平均數(shù)及方差分別相等B.A組,B組平均數(shù)相等,B組方差大
C.A組比B組的平均數(shù)、方差都大D.A組,B組平均數(shù)相等,A組方差大
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【題目】打折前,買20件A商品和30件B商品要用2200元,買50件A商品和10件B商品要用2900元.若打折后,買40件A商品和40件B商品用了3240元,比不打折少花多少錢?
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【題目】如圖,在平面直角坐標系中,點B在x軸上,∠ABO=90°,AB=BO,直線y=﹣3x﹣4與反比例函數(shù)y=交于點A,交y軸于C點.
(1)求k的值;
(2)點D與點O關于AB對稱,連接AD、CD,證明△ACD是直角三角形;
(3)在(2)的條件下,點E在反比例函數(shù)圖象上,若S△OCE=S△OCD,求點E的坐標.
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【題目】設△ABC,點P是平面內(nèi)的任意一點(A、B、C三點除外),若點P與點A、B、C中任意兩點的連線的夾角為直角時,則稱點P為△ABC的一個勾股點.
(1)如圖1,若點P是△ABC內(nèi)一點,∠A=50°,∠ACP=10°,∠ABP=30°,試說明點P是△ABC的一個勾股點.
(2)如圖2,Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=6,BC=8,點D是AB的中點,點P在射線CD上,若點P是△ABC的勾股點,則CP= ;
(3)如圖3,四邊形ABDC中,DB=DA,∠BCD=45°,AC=,CD=3.則點D能否是△ABC的勾股點,若能,求出BC的長:若不能,請說明理由.
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【題目】如圖,在平面直角坐標系中,直線y=-2x+2與x軸交于點B,與y軸交于點A,拋物線y=-x2+bx+c與線段AB交于點E,并經(jīng)過原點O,且點E的橫坐標為.
(1)求拋物線的表達式;
(2)在拋物線上是否存在點C,使得以AC為直徑的圓恰好經(jīng)過點B,若存在,求出所有滿足條件的點C的坐標,若不存在,請說明理由;
(3)若D是第(2)小題中圓上的動點,直線y=x+m經(jīng)過點D,求m的取值范圍.
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【題目】已知△ABC是等邊三角形,AD⊥BC于點D,點E是直線AD上的動點,將BE繞點B順時針方向旋轉(zhuǎn)60°得到BF,連接EF、CF、AF.
(1)如圖1,當點E在線段AD上時,猜想∠AFC和∠FAC的數(shù)量關系;(直接寫出結(jié)果)
(2)如圖2,當點E在線段AD的延長線上時,(1)中的結(jié)論還成立嗎?若成立,請證明你的結(jié)論,若不成立,請寫出你的結(jié)論,并證明你的結(jié)論;
(3)點E在直線AD上運動,當△ACF是等腰直角三角形時,請直接寫出∠EBC的度數(shù).
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【題目】如圖,四邊形ABCD中AB=BC=CD=AD,∠BAD=90°,對角線AC、BD相交于點O.
(1)求證:四邊形ABCD是正方形;
(2)若P是對角線BD上任意一點,連接PA,PA繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到PE,連接AE、BE.
①根據(jù)題意畫圖,判斷B、C、E三點是否共線,并說明理由;
②當BD=8,△PBE的面積等于時,求PB的長
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【題目】一對骰子,如果擲兩骰子正面點數(shù)和為2、11、12,那么甲贏;如果兩骰子正面的點數(shù)和為7,那么乙贏;如果兩骰子正面的點數(shù)和為其他數(shù),那么甲、乙都不贏.繼續(xù)下去,直到有一個人贏為止.
(1)你認為游戲是否公平?并解釋原因;
(2)如果你認為游戲公平,那么請你設計一個不公平的游戲;如果你認為游戲不公平,那么請你設計一個公平的游戲.
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