Question

將一副三角尺如圖拼接：含30°角的三角尺（△ABC）的長(zhǎng)直角邊與含45°角的三角尺（△ACD的斜邊恰好重合已知AB=2，P是AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．
（1）求AC的長(zhǎng)；
（2）當(dāng)點(diǎn)P在∠ABC的平分線上時(shí)，求DP的長(zhǎng)；
（3）當(dāng)點(diǎn)PD=BC時(shí)，求此時(shí)∠PDA的度．

Answer 1

考點(diǎn)：勾股定理,含30度角的直角三角形

專題：

分析：（1）根據(jù)∠CAB=30°，AB=2，利用三角函數(shù)的知識(shí)即可求解AC的長(zhǎng)度；
（2）連接DP，作DH⊥AC，在Rt△BCP中，求出CP的長(zhǎng)度，然后根據(jù)HP=HC-CP，求出HP的長(zhǎng)度；
（3）當(dāng)點(diǎn)PD=BC時(shí)，P點(diǎn)的位置可能有兩處，分別為P₁，P₂，分別運(yùn)用勾股定理求出PH的長(zhǎng)度，然后求出∠HDP的度數(shù)，繼而可求得∠PDA的度數(shù)．

解答：解：（1）在Rt△ABC中，
∵AB=2，∠CAB=30°，
∴BC=1，AC=

3

；

（2）連接DP，作DH⊥AC，
∵BP是∠ABC的角平分線，
∴∠CBP=30°，CP=

3

3

．
在Rt△ADC中，DH=AH=HC=

1

2

AC=

3

2

，
∴HP=

3

2

-

3

3

=

3

6

，
DP=

DH2+HP2

=

( 3 3 )2+( 3 6 )2

=

30

6

；

（2）當(dāng)PD=BC=1時(shí)，P點(diǎn)的位置可能有兩處，分別為P₁，P₂，
在Rt△DHP₁中，HP₁=

12-( 3 2 )2

=

1

2

，
∴∠HDP₁=30°，∠P₁DA=30°+45°=75°，
同理，∠P₂DA=45°-30°=15°．
∴∠PDA的度數(shù)為15°或75°．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了勾股定理以及解直角三角形的應(yīng)用，綜合性較強(qiáng)，要熟練掌握好邊角之間的關(guān)系以及勾股定理的應(yīng)用，難度較大．