Question

【題目】若△ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)α后，與△ADE構(gòu)成位似圖形，則我們稱△ABC與△ADE互為“旋轉(zhuǎn)位似圖形”．

（1）知識理解：

如圖1，△ABC與△ADE互為“旋轉(zhuǎn)位似圖形”．

①若α＝25°，∠D＝100°，∠C＝28°，則∠BAE＝　 　；

②若AD＝6，DE＝7，AB＝4，則BC＝　 　

（2）知識運用：

如圖2，在四邊形ABCD中，∠ADC＝90°，AE⊥BD于點E，∠DAC＝∠DBC，求證：△ACD與△ABE互為“旋轉(zhuǎn)位似圖形”．

（3）拓展提高：

如圖3，△ABG為等邊三角形，點C為AG的中點，點F是AB邊上的一點，點D為CF延長線上的一點，點E在線段CF上，且△ABD與△ACE互為“旋轉(zhuǎn)位似圖形”．若AB＝6，AD＝4，求的值．

Answer 1

【答案】（1）①27°；②；（2）見解析； （3）．

【解析】

（1）①依據(jù)△ABC和△ADE互為“旋轉(zhuǎn)位似圖形”，可得△ABC∽△ADE，依據(jù)相似三角形的對應(yīng)角相等，即可得到∠BAE＝180°﹣100°﹣28°﹣25°＝27°；

②依據(jù)△ABC∽△ADE，可得，根據(jù)AD＝6，DE＝7，AB＝4，即可得出BC＝；

（2）依據(jù)△AOD∽△BOC，即可得到，進而得到△AOB∽△DOC，再根據(jù)∠7＝∠8，∠ADC＝∠AEB，即可得到△ABE∽△ACD，進而得出△ACD和△ABE互為“旋轉(zhuǎn)位似圖形”；

（3）利用三角函數(shù)和勾股定理解答即可．

（1）①∵△ABC和△ADE互為“旋轉(zhuǎn)位似圖形”，

∴△ABC∽△ADE，

∴∠D＝∠B＝100°，

又∵α＝25°，∠E＝28°，

∴∠BAE＝180°﹣100°﹣25°﹣28°＝27°；

②∵△ABC∽△ADE，

∴，

∵AD＝6，DE＝7，AB＝4，

∴，

∴BC＝，

故答案為：27°；；

（2）∵∠DOA＝∠COB，∠DAC＝∠DBC，

∴△DOA∽△COB，

∴，即，

又∵∠DOC＝∠AOB，

∴△AOB∽△DOC，

∴∠DCA＝∠EBA，

又∵∠ADC＝90°，AE⊥BD，

∴∠ADC＝∠AEB＝90°，

∴△ABE∽△ACD，

∴∠DAC＝∠EAB，

∴△AEB繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)∠DAE的度數(shù)后與△ADC構(gòu)成位似圖形，

∴△ACD和△ABE互為“旋轉(zhuǎn)位似圖形”；

（3）∵AC＝AG＝AB＝3，

由題意得：，

∵AD＝4，

∴AE＝2，

∵∠DAE＝∠FAC＝60°，

∴cos∠DAE＝cos60°＝，

∴∠DEA＝90°，

∴由勾股定理可得CE＝，

∴DE＝AEtan∠DAE＝2，

∴．