Question

已知二次函數(shù)y=x²-kx+k-1（ k＞2）．
（1）求證：拋物線y=x²-kx+k-1（ k＞2）與x軸必有兩個交點(diǎn)；
（2）拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，若tan∠OAC=3，求拋物線的表達(dá)式；
（3）以（2）中的拋物線上一點(diǎn)P（m，n）為圓心，1為半徑作圓，直接寫出：當(dāng)m取何值時，x軸與⊙P相離、相切、相交．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）拋物線與x軸有兩個交點(diǎn)，通過證明判別式△=b²-4ac＞0即可；
（2）根據(jù)題意可設(shè)A（1，0），C（0，a），根據(jù)三角函數(shù)可得點(diǎn)C（0，3），再代入即可得到k的值，從而得到拋物線的表達(dá)式；
（3）分別根據(jù)點(diǎn)P與x軸的距離＞1，=1或＜1，列出關(guān)于m的方程或不等式，進(jìn)一步得到當(dāng)m取何值時，x軸與⊙P相離、相切、相交．

解答：解：（1）根據(jù)題意有：△=k²-4k+4=（k-2 ）²，
∵k＞2，
∴△＞0，
所以拋物線與x軸必有兩個交點(diǎn)．

2）設(shè)f（x）=x²-kx+k-1
根據(jù)題意知
對稱軸x=

k

2

＞1，且f（1）=0，f（0）=k-1＞1
∴可設(shè)A（1，0），C（0，a）
在RT△COA中，tan∠OAC=3=

OC

OA

=

a

1

，
∴a=3
∴點(diǎn)C（0，3）
把點(diǎn)C代入拋物線求得k=4，
故拋物線的表達(dá)式為y=x²-4x+3．

（3）當(dāng)m²-4m+3=-1，即m=2或m²-4m+3=1，即m=2±

2

時，x軸與⊙P相切；
當(dāng)m＜2-

2

或m＞2+

2

時，x軸與⊙P相離；
當(dāng)2-

2

＜m＜2+

2

且時m≠2，x軸與⊙P相交．

點(diǎn)評：考查了二次函數(shù)綜合題，涉及的知識點(diǎn)有：判別式，三角函數(shù)，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，方程思想，直線與圓的位置關(guān)系，綜合性較強(qiáng)，有一定的難度．