Question

 如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知四邊形DOBC是矩形，且D（0，4），B（6，0）．若反比例函數(shù)y=

k1

x

（x＞0）的圖象經(jīng)過(guò)線段OC的中點(diǎn)A，交DC于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)F．設(shè)直線EF的解析式為y=k₂x+b．
（1）求反比例函數(shù)和直線EF的解析式；
（2）求△OEF的面積；
（3）請(qǐng)結(jié)合圖象直接寫出不等式k₂x+b-

k1

x

＞0的解集．

Answer 1

考點(diǎn)：反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題

專題：代數(shù)幾何綜合題

分析：（1）先利用矩形的性質(zhì)確定C點(diǎn)坐標(biāo)（6，4），再確定A點(diǎn)坐標(biāo)為（3，2），則根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征得到k₁=6，即反比例函數(shù)解析式為y=

6

x

；然后利用反比例函數(shù)解析式確定F點(diǎn)的坐標(biāo)為（6，1），E點(diǎn)坐標(biāo)為（

3

2

，4），再利用待定系數(shù)法求直線EF的解析式；
（2）利用△OEF的面積=S_矩形BCDO-S_△ODE-S_△OBF-S_△CEF進(jìn)行計(jì)算；
（3）觀察函數(shù)圖象得到當(dāng)

3

2

＜x＜6時(shí)，一次函數(shù)圖象都在反比例函數(shù)圖象上方，即k₂x+b＞

k1

x

．

解答：解：（1）∵四邊形DOBC是矩形，且D（0，4），B（6，0），
∴C點(diǎn)坐標(biāo)為（6，4），
∵點(diǎn)A為線段OC的中點(diǎn)，
∴A點(diǎn)坐標(biāo)為（3，2），
∴k₁=3×2=6，
∴反比例函數(shù)解析式為y=

6

x

；
把x=6代入y=

6

x

得y=1，則F點(diǎn)的坐標(biāo)為（6，1）；
把y=4代入y=

6

x

得x=

3

2

，則E點(diǎn)坐標(biāo)為（

3

2

，4），
把F（6，1）、E（

3

2

，4）代入y=k₂x+b得

6k2+b=1 3 2 k2+b=4

，解得

k2=- 2 3 b=5

，
∴直線EF的解析式為y=-

2

3

x+5；

（2）△OEF的面積=S_矩形BCDO-S_△ODE-S_△OBF-S_△CEF
=4×6-

1

2

×4×

3

2

-

1

2

×6×1-

1

2

×（6-

3

2

）×（4-1）
=

45

4

；

（3）由圖象得：不等式k₂x+b-

k1

x

＞0的解集為

3

2

＜x＜6．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題：求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)，把兩個(gè)函數(shù)關(guān)系式聯(lián)立成方程組求解，若方程組有解則兩者有交點(diǎn)，方程組無(wú)解，則兩者無(wú)交點(diǎn)．也考查了待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式．