Question

如圖，∠C=90°，⊙O是Rt△ABC的內(nèi)切圓，分別切BC，AC，AB于點(diǎn)E，F(xiàn)，G，連接OE，OF．AO的延長(zhǎng)線交BC于點(diǎn)D，AC=6，CD=2．
（1）求證：四邊形OECF為正方形；
（2）求⊙O的半徑；
（3）求AB的長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心,正方形的判定

專題：

分析：（1）利用切線的性質(zhì)得出∠C=∠CFO=∠CEO=90°進(jìn)而得出四邊形CFOE是矩形，即可得出四邊形OECF為正方形；
（2）利用相似三角形的判定與性質(zhì)得出

DE

CD

=

EO

AC

，進(jìn)而得出⊙O的半徑；
（3）利用切線的性質(zhì)以及勾股定理得出BG的長(zhǎng)，即可得出AB的長(zhǎng)．

解答：（1）證明：∵⊙O是Rt△ABC的內(nèi)切圓，分別切BC，AC，AB于點(diǎn)E，F(xiàn)，G，
∴∠C=∠CFO=∠CEO=90°，
∴四邊形CFOE是矩形，
∵OF=OE，
∴四邊形OECF為正方形；

（2）解：由題意可得：EO∥AC，
∴△DEO∽△DCA，
∴

DE

CD

=

EO

AC

，
設(shè)⊙O的半徑為x，
則

2-x

2

=

x

6

，
解得：x=1.5，
故⊙O的半徑為1.5；

（3）解：∵⊙O的半徑為1.5，AC=6，
∴CF=1.5，AF=4.5
∴AG=4.5，
設(shè)BG=BE=y，
∴在Rt△ACB中
AC²+BC²=AB²，
∴6²+（y+1.5）²=（4.5+y）²，
解得：y=3，
∴AB=AG+BG=4.5+3=7.5．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了切線的性質(zhì)以及勾股定理和正方形的判定和相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，得出△DEO∽△DCA是解題關(guān)鍵．