【題目】我們知道,三角形的三條角平分線交于一點(diǎn),這個(gè)點(diǎn)稱為三角形的內(nèi)心(即三角形內(nèi)切圓的圓心) . 現(xiàn)在規(guī)定,如果四邊形的四條角平分線交于一點(diǎn),我們把這個(gè)點(diǎn)稱為“四邊形的內(nèi)心”.
問(wèn)題提出
(1)如圖1,在△ABC中,∠C=90°,點(diǎn)O為△ABC的內(nèi)心,若直線DE分別交邊AC、BC于點(diǎn)D、E,且點(diǎn)O仍然為四邊形ABED的內(nèi)心,這樣的直線DE可以畫多少條?請(qǐng)?jiān)趫D1中畫出一條符合條件的直線DE,并簡(jiǎn)要說(shuō)明畫法.
問(wèn)題探究
(2)如圖2,在△ABC中,∠C=90°, AC=3, BC=4,若滿足(1)中條件的一條直線DE // AB,求此時(shí)線段DE的長(zhǎng);
問(wèn)題解決
(3)如圖3,在△ABC中,∠C=90°, AC=3,BC=4,問(wèn)滿足(1)中條件的線段DE是否存在最小值?如果存在,請(qǐng)求出這個(gè)值;如果不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
【答案】(1)如圖1,這樣的直線DE可以畫無(wú)數(shù)條;說(shuō)明畫法見解析;(2)DE=;(3)存在,DE有最小值2-2.
【解析】
(1)在AC上取點(diǎn)D,連接OD,作∠ODA'=∠ODA,DA'與BC交于點(diǎn)E,通過(guò)角平分線的性質(zhì)定理和逆定理分析判斷即可得到直線DE即為所求,所以這樣的直線DE有無(wú)數(shù)條;
(2)由DE // AB,得到△CDE∽△CAB,通過(guò)題中數(shù)據(jù)計(jì)算即可;
(3)先求出∠DOE= 45°,然后作△ODE的外接圓⊙O',作O'G⊥DE于點(diǎn)G,連接O'O,O'D, O'E,通過(guò)O'O+O'G≥ON,即可得到DE的最小值.
解:(1) 如圖1,這樣的直線DE可以畫無(wú)數(shù)條.
在AC上取點(diǎn)D,連接OD,作∠ODA'=∠ODA,DA'與BC交于點(diǎn)E,
連接OC;如圖2,作OP⊥AC于點(diǎn)P,OQ⊥AB于點(diǎn)Q,ON⊥DE于點(diǎn)N,
由角平分線可知OP=ON=OM,故OE也為∠DEM的平分線,所以直線DE即為所求.
(2)在圖1中,由DE//AB,可知N、O、Q共線;作CH⊥AB于點(diǎn)H,交DE于點(diǎn)H'.
由AC·OP+ BC·OM +AB·OQ=AC·BC,有ON =OQ=OM=OP=l;
由DE // AB,有∠CDE=∠CAB,∠CED=∠CBA ,
從而△CDE∽△CAB,
故,
即,
解得DE=.
(3)存在.
圖1中,易知四邊形OPCM是正方形,△ODP≌△ODN , △OEM≌△OEN ,
從而可知∠DOE=∠POM= 45°.
如圖3,作△ODE的外接圓⊙O',作O'G⊥DE于點(diǎn)G,連接O'O,O'D, O'E;
由∠DO'E=2∠DOE=90°,有O'O=O'D=,O'G=;
由O'O+O'G≥ON,有+≥1,解得DE≥2-2,
∴DE有最小值2-2.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,拋物線G:y=mx2+2mx+m﹣1(m≠0)與y軸交于點(diǎn)C,拋物線G的頂點(diǎn)為D,直線:y=mx+m﹣1(m≠0).
(1)當(dāng)m=1時(shí),畫出直線和拋物線G,并直接寫出直線被拋物線G截得的線段長(zhǎng).
(2)隨著m取值的變化,判斷點(diǎn)C,D是否都在直線上并說(shuō)明理由.
(3)若直線被拋物線G截得的線段長(zhǎng)不小于2,結(jié)合函數(shù)的圖象,直接寫出m的取值范圍.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,平行四邊形ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O,AE平分∠BAD,分別交BC、BD于點(diǎn)E、P,連接OE,∠ADC=60°,AB=BC=1,則下列結(jié)論:
①∠CAD=30°②BD=③S平行四邊形ABCD=ABAC④OE=AD⑤S△APO=,正確的個(gè)數(shù)是( 。
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某學(xué)校組織了一次體育測(cè)試,測(cè)試項(xiàng)目有A“立定跳遠(yuǎn)”、B“擲實(shí)心球”、C“仰臥起坐”、D“100米跑”、E“800米跑”.規(guī)定:每名學(xué)生測(cè)試三項(xiàng),其中A、B為必測(cè)項(xiàng)目,第三項(xiàng)在C、D、E中隨機(jī)抽取,每項(xiàng)10分(成績(jī)均為整數(shù)且不低于0分).
(1)完成A、B必測(cè)項(xiàng)目后,用列表法,求甲、乙兩同學(xué)第三項(xiàng)抽取不同項(xiàng)目的概率;
(2)某班有6名男生抽到了E“800米跑”項(xiàng)目,他們的成績(jī)分別(單位:分)為:x,6,7,8,8,9.
①已知這組成績(jī)的平均數(shù)和中位數(shù)相等,且x不是這組成績(jī)中最高的,則x= ;
②該班學(xué)生丙因病錯(cuò)過(guò)了測(cè)試,補(bǔ)測(cè)抽到了E“800米跑”項(xiàng)目,加上丙同學(xué)的成績(jī)后,發(fā)現(xiàn)這組成績(jī)的眾數(shù)與中位數(shù)相等,但平均數(shù)比原來(lái)的平均數(shù)小,則丙同學(xué)“800米跑”的成績(jī)?yōu)槎嗌??/span>
甲 乙 | |||
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】一次防流感知識(shí)檢測(cè)中,學(xué)生得分均為整數(shù),滿分10分,成績(jī)達(dá)到9分為優(yōu)秀,這次檢測(cè)中甲、乙兩組學(xué)生人數(shù)相同,成績(jī)?nèi)缦聝蓚(gè)統(tǒng)計(jì)圖:
(1)在乙組學(xué)生成績(jī)統(tǒng)計(jì)圖中,8分所在的扇形的圓心角為 度;
(2)請(qǐng)列式計(jì)算乙組平均分,補(bǔ)充完整下面的成績(jī)統(tǒng)計(jì)分析表所有空格:
平均分 | 方差 | 眾數(shù) | 中位數(shù) | 優(yōu)秀率 | |
甲組 | 7 | 1.8 | 7 | 7 | 20% |
乙組 | 2.6 | 10% |
(3)甲組學(xué)生說(shuō)他們的優(yōu)秀率高于乙組,所以他們的成績(jī)好于乙組,但乙組學(xué)生不同意甲組學(xué)生的說(shuō)法,認(rèn)為他們組的成績(jī)要好于甲組,請(qǐng)你給出兩條支持乙組學(xué)生觀點(diǎn)的理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,菱形ABCD頂點(diǎn)A在例函數(shù)y=(x>0)的圖象上,函數(shù) y=(k>3,x>0)的圖象關(guān)于直線AC對(duì)稱,且經(jīng)過(guò)點(diǎn)B、D兩點(diǎn),若AB=2,∠DAB=30°,則k的值為______.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】國(guó)家推行“節(jié)能減排,低碳經(jīng)濟(jì)”政策后,低排量的汽車比較暢銷,某汽車經(jīng)銷商購(gòu)進(jìn)A、B兩種型號(hào)的低排量汽車,其中A型汽車的進(jìn)貨單價(jià)比B型汽車的進(jìn)貨單價(jià)多2萬(wàn)元;花50萬(wàn)元購(gòu)進(jìn)A型汽車的數(shù)量與花40萬(wàn)元購(gòu)進(jìn)B型汽車的數(shù)量相同.
(1)求A、B兩種型號(hào)汽車的進(jìn)貨單價(jià);
(2)銷售中發(fā)現(xiàn)A型汽車的每周銷量yA(臺(tái))與售價(jià)x(萬(wàn)元/臺(tái))滿足函數(shù)關(guān)系yA=﹣x+20,B型汽車的每周銷量yB(臺(tái))與售價(jià)x(萬(wàn)元/臺(tái))滿足函數(shù)關(guān)系yB=﹣x+14,A型汽車的售價(jià)比B型汽車的售價(jià)高2萬(wàn)元/臺(tái).問(wèn)A、B兩種型號(hào)的汽車售價(jià)各為多少時(shí),每周銷售這兩種汽車的總利潤(rùn)最大?最大利潤(rùn)是多少萬(wàn)元?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某中學(xué)為豐富學(xué)生的校園生活,準(zhǔn)備一次性購(gòu)買若干個(gè)足球和籃球(每個(gè)足球的價(jià)格相同,每個(gè)籃球的價(jià)格相同),若購(gòu)買3個(gè)足球和2個(gè)籃球共需170元,購(gòu)買2個(gè)足球和5個(gè)籃球共需260元.
(1)購(gòu)買一個(gè)足球、一個(gè)籃球各需多少元?(提示:列方程組解答)
(2)根據(jù)該中學(xué)的實(shí)際情況,需一次性購(gòu)買足球和籃球共46個(gè),要求購(gòu)買足球和籃球的總費(fèi)用不超過(guò)1480元,這所中學(xué)最多可以購(gòu)買多少個(gè)籃球?(提示:列不等式解答)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某市場(chǎng)將進(jìn)貨價(jià)為40元/件的商品按60元/件售出,每星期可賣出300件.市場(chǎng)調(diào)查反映:如調(diào)整價(jià)格,每漲價(jià)1元/件,每星期該商品要少賣出10件.
(1)請(qǐng)寫出該商場(chǎng)每月賣出該商品所獲得的利潤(rùn)y(元)與該商品每件漲價(jià)x(元)間的函數(shù)關(guān)系式;
(2)每月該商場(chǎng)銷售該種商品獲利能否達(dá)到6300元?請(qǐng)說(shuō)明理由;
(3)請(qǐng)分析并回答每件售價(jià)在什么范圍內(nèi),該商場(chǎng)獲得的月利潤(rùn)不低于6160元?
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