Question

如圖1，AD為⊙O的直徑，B、C為⊙O上兩點(diǎn)，點(diǎn)C在

AB

上，且

AB

=

CD

，過A點(diǎn)作⊙O的切線，交DB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，過點(diǎn)E作DC的垂線，垂足為點(diǎn)F．
（1）求證：∠AED=∠ADF；
（2）探究BD、BE、EF三者之間數(shù)量關(guān)系，并證明；
（3）如圖2，若點(diǎn)B在

AC

上，其余條件不變，則BD、BE、EF三者之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)證明；
（4）在（3）的條件下，當(dāng)AE=3，⊙O半徑為2時(shí)，求EF的長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：圓的綜合題

專題：綜合題

分析：（1）連接AC，如圖1，由

AB

=

CD

可得

AC

=

BD

，從而有∠ADF=∠DAB．然后利用切線的性質(zhì)和圓周角定理即可得到∠AED=90°-∠ADB=∠DAB=∠ADF﹒
（2）連接AB、AC，過點(diǎn)E作EP⊥AC，交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P，如圖1′．易證△AEP≌△EAB，則有AP=EB．易證四邊形PEFC是矩形，則有EF=CP．由

AB

=

CD

可得

AC

=

BD

，從而得到BD=AC，即可證到BD=BE-EF．
（3）連接AC、AB，過點(diǎn)A作AM⊥EF，交FE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，如圖2，則有∠M=90°．易證四邊形ACFM是矩形，則有AC=MF，∠CAM=90°．易證△AME≌△ABE，則有ME=BE由

AB

=

CD

可得

AC

=

BD

，從而有AC=BD，即可證到BD=BE+EF．
（4））運(yùn)用勾股定理可求出DE，運(yùn)用面積法可求出AB，然后運(yùn)用勾股定理可求出BD，從而可求出BE，然后利用BD=BE+EF就可求出EF長(zhǎng)．

解答：解：（1）連接AC，如圖1．
∵

AB

=

CD

，
∴

AC

=

BD

，
∴∠ADF=∠DAB．
∵AE與⊙O相切于點(diǎn)A，∴∠DAE=90°．
∵AD是⊙O的直徑，∴∠ABD=90°，
∴∠AED=90°-∠ADB=∠DAB=∠ADF﹒

（2）BD=BE-EF．
證明：連接AB、AC，過點(diǎn)E作EP⊥AC，交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P，如圖1′．
∵AD是⊙O的直徑，AE與⊙O相切于點(diǎn)A，
∴∠ABD=∠ACD=∠DAE=90°，
∴∠PAE=90°-∠DAC=∠ADF，
∵∠AED=∠ADF（已證），
∴∠PAE=∠AED．
在△AEP和△EAB中，

∠APE=∠EBA ∠PAE=∠AEB AE=EA

，
∴△AEP≌△EAB（AAS），
∴AP=EB．
∵EF⊥DF，∠PCF=∠ACD=90°，∠P=90°，
∴∠F=∠PCF=∠P=90°，
∴四邊形PEFC是矩形，
∴EF=CP．
∵

AB

=

CD

，
∴

AC

=

BD

，
∴BD=AC，
∴BD=AC=AP-CP=BE-EF．

（3）BD=BE+EF．
證明：連接AC、AB，過點(diǎn)A作AM⊥EF，交FE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，如圖2．
則有∠M=90°．
∵AD是⊙O的直徑，∴∠ABD=∠ACD=90°．
∵AE與⊙O相切于點(diǎn)A，
∴∠DAE=90°，
∴∠BAE=90°-∠DAB=∠ADB．
∵∠F=∠ACF=∠M=90°，
∴四邊形ACFM是矩形，
∴AC=MF，∠CAM=90°，
∴∠MAE=90°-∠CAE=∠DAC，
∵

AB

=

CD

，
∴∠ADB=∠DAC，
∴∠BAE=∠ADB=∠DAC=∠MAE．
在△AME和△ABE中，

∠M=∠ABE=90° ∠MAE=∠BAE AE=AE

，
∴△AME≌△ABE（AAS），
∴ME=BE
∵

AB

=

CD

，
∴

AC

=

BD

，
∴AC=BD，
∴BD=AC=MF=ME+EF=BE+EF．

（4）∵∠DAE=90°，AE=3，AD=4，
∴DE=5，
∴AB=

AD•AE

DE

=

4×3

5

=

12

5

．
∴BD=

AD2-AB2

=

16

5

，
∴BE=DE-BD=5-

16

5

=

9

5

，
∴EF=BD-BE=

16

5

-

9

5

=

7

5

．
∴EF的長(zhǎng)為

7

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了弧與弦的關(guān)系、圓周角定理、切線的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，綜合性性比較強(qiáng)．將兩條線段的和轉(zhuǎn)化成一條線段是解決第（2）小題和第（3）小題的關(guān)鍵．