Question

已知∠ACB=90°，AC=BC，直線L過(guò)點(diǎn)C，AE⊥L，BF⊥L，P為AB中點(diǎn)，求證：PF=PE．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),等腰直角三角形

專(zhuān)題：證明題

分析：連接CP，則AP=BP=CP，由∠ACB=90°，AE⊥L，BF⊥L，可得出∠ACE=∠CBF，從而可證得△ACE≌△CBF，所以有CE=BF，結(jié)合∠ACE=∠CBF，可得∠PCE=∠PBF，可證得△PCE≌△PBF，可得出結(jié)論．

解答：證明：連接CP，
∵∠ACB=90°，AE⊥L，BF⊥L，
∴∠ACE+∠FCB=∠CBF+∠FCB，
∴∠ACE=∠CBF，PC=PB=PA，
在△ACE和△CBF中，

∠ACE=∠CBF ∠AEC=∠CFB=90° AC=BC

，
∴△ACE≌△CBF（AAS），
∴CE=BF，
∵∠ACP=∠CBP=45°，且∠ACP+∠PCE=∠CBP+∠PBF，
∴∠PCE=∠PBF，
在△PCE和△PBF中，

PC=PB ∠PCE=∠PBF CE=BF

，
∴△PCE≌△PBF（SAS），
∴PE=PF．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查三角形全等的判定和性質(zhì)，尋找三角形全等的條件是證題的關(guān)鍵．