Question

已知方程x²+2ax+a-4=0有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，方程x²+2ax+k=0也有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，且其兩根介于方程x²+2ax+a-4=0的兩根之間，求k的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：拋物線與x軸的交點(diǎn),根的判別式

專題：

分析：由方程x²+2ax+a-4=0恒有相異兩實(shí)根，則△＞0，而△=4a²-4（a-4）=4（a²-a+4）=4[（a-

1

2

）²+

15

4

]，得a為任意實(shí)數(shù)，由方程x²+2ax+k=0也有相異兩實(shí)根，△′=4a²-4k＞0，即k＜a²；并且它的兩根介于上面方程的兩根之間，可利用二次函數(shù)的圖象繼續(xù)求k的范圍．

解答：解：∵方程x²+2ax+a-4=0有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根
∴△＞0，而△=4a²-4（a-4）=4（a-

1

2

）²+15≥15．
又∵方程x²+2ax+k=0也有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根
∴△′=4a²-4k＞0，即k＜a² 
對(duì)于二次函數(shù)y₁=x²+2ax+a-4和y₂=x²+2ax+k，它們的對(duì)稱軸相同，且與x軸都有兩個(gè)不同的交點(diǎn)
∵y₂與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)都在y₁與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)之間
∴y₂與y軸的交點(diǎn)在y₁與y軸的交點(diǎn)上方，如圖，∴k＞a-4，
∴k的取值范圍是：a-4＜k＜a²．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0，a，b，c為常數(shù)）的根的判別式△=b²-4ac．當(dāng)△＞0，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△=0，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△＜0，方程沒有實(shí)數(shù)根．同時(shí)考查了運(yùn)用二次函數(shù)圖象解決不等式的問(wèn)題．