Question

如圖，點(diǎn)A、C分別在x軸、y軸的正半軸上移動，過點(diǎn)O、A、C作矩形OABC，OA=a，OC=c，在移動過程中，雙曲線y=

k

x

（k＞0）的圖象始終經(jīng)過BC的中點(diǎn)E，交AB于點(diǎn)D．連接OE，將四邊形OABE沿OE翻折，得四邊形OMNE，記雙曲線與四邊形OMNE除點(diǎn)E外的另一個交點(diǎn)為F．若∠EOA=30°，k=

3

，則直線DF的解析式為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：反比例函數(shù)綜合題

專題：

分析：首先過點(diǎn)E作EH⊥OA于點(diǎn)H，過點(diǎn)F作FG⊥OA于點(diǎn)G，由∠EOA=30°，k=

3

，即可求得點(diǎn)E的坐標(biāo)，又由點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，可求得點(diǎn)D的橫坐標(biāo)，繼而求得點(diǎn)D的坐標(biāo)，然后由折疊的性質(zhì)，可得∠FOA=60°，即可求得點(diǎn)F的坐標(biāo)，然后由待定系數(shù)法求得直線DF的解析式．

解答：解：過點(diǎn)E作EH⊥OA于點(diǎn)H，過點(diǎn)F作FG⊥OA于點(diǎn)G，
∵∠EOA=30°，k=

3

，
∴

EH

OH

=

3

3

，
∴OH=

3

EH，
∵S_△EOH=

1

2

OH•EH=

1

2

k=

3

2

，
∴EH=1，OH=

3

，
∵E是BC的中點(diǎn)，
∴OA=2OH=2

3

，
∴點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為2

3

，
則y=

3

2 3

=

1

2

，
∴點(diǎn)D（2

3

，

1

2

），
由折疊的性質(zhì)可得：∠FOA=2∠AOE=60°，
∴FG：OG=

3

，
∵S_△FOG=

1

2

OG•FG=

1

2

k=

3

2

，
∴OG=1，F(xiàn)G=

3

，
∴點(diǎn)F（1，

3

），
設(shè)直線DF的解析式為：y=ax+b，
∴

2 3 a+b= 1 2 a+b= 3

，
解得：

a=- 1 2 b= 3 + 1 2

，
∴直線DF的解析式為：y=-

1

2

x+

3

+

1

2

．
故答案為：y=-

1

2

x+

3

+

1

2

．

點(diǎn)評：此題考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、反比例函數(shù)k的幾何意義以及待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式．此題綜合性較強(qiáng)，難度較大，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應(yīng)用．