【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,矩形OABC的頂點(diǎn)A在x軸的正半軸上,頂點(diǎn)C在y軸的正半軸上,D是BC邊上的一點(diǎn),OC:CD=5:3,DB=6.反比例函數(shù)y=(k≠0)在第一象限內(nèi)的圖象經(jīng)過點(diǎn)D,交AB于點(diǎn)E,AE:BE=1:2.
(1)求這個反比例函數(shù)的表達(dá)式;
(2)動點(diǎn)P在矩形OABC內(nèi),且滿足S△PAO=S四邊形OABC.
①若點(diǎn)P在這個反比例函數(shù)的圖象上,求點(diǎn)P的坐標(biāo);
②若點(diǎn)Q是平面內(nèi)一點(diǎn)使得以A、B、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形是菱形求點(diǎn)Q的坐標(biāo).
【答案】(1)y=;(2)①( ,4);②(6,9)或(9﹣2 ,﹣1).
【解析】
(1)設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為(m,n),則點(diǎn)E的坐標(biāo)為(m,n),點(diǎn)D的坐標(biāo)為(m﹣6,n),利用反比例函數(shù)圖像上的點(diǎn)的坐標(biāo)特征可求出m的值,之后進(jìn)一步求出n的值,然后進(jìn)一步求解即可;
(2)根據(jù)三角形的面積公式與矩形的面積公式結(jié)合S△PAO=S四邊形OABC即可進(jìn)一步求出P的縱坐標(biāo).①若點(diǎn)P在這個反比例函數(shù)的圖象上,利用反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可求出點(diǎn)P的坐標(biāo);②由點(diǎn)A,B的坐標(biāo)及點(diǎn)P的總坐標(biāo)可得出AP≠BP,進(jìn)而可得出AB不能為對角線,設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(t,4),分AP=AB和BP=AB兩種情況考慮:(i)當(dāng)AB=AP時,利用兩點(diǎn)間的距離公式可求出t值,進(jìn)而可得出點(diǎn)P1的坐標(biāo),結(jié)合P1Q1的長可求出點(diǎn)Q1的坐標(biāo);(ii)當(dāng)BP=AB時,利用兩點(diǎn)間的距離公式可求出t值,進(jìn)而可得出點(diǎn)P2的坐標(biāo),結(jié)合P2Q2的長可求出點(diǎn)Q2的坐標(biāo).
(1)設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為(m,n),則點(diǎn)E的坐標(biāo)為(m,n),點(diǎn)D的坐標(biāo)為(m﹣6,n).
∵點(diǎn)D,E在反比例函數(shù)y=(k≠0)的圖象上,
∴k=mn=(m﹣6)n,
∴m=9.
∵OC:CD=5:3,
∴n:(m﹣6)=5:3,
∴n=5,
∴k=mn=×9×5=15,
∴反比例函數(shù)的表達(dá)式為y=.
(2)∵S△PAO=S四邊形OABC,
∴OAyP=OAOC,
∴yP=OC=4.
當(dāng)y=4時,=4,
解得:x=,
∴若點(diǎn)P在這個反比例函數(shù)的圖象上,點(diǎn)P的坐標(biāo)為(,4).
②由(1)可知:點(diǎn)A的坐標(biāo)為(9,0),點(diǎn)B的坐標(biāo)為(9,5),
∵yP=4,yA+yB=5,
∴,
∴AP≠BP,
∴AB不能為對角線.
設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(t,4).
分AP=AB和BP=AB兩種情況考慮(如圖所示):
(i)當(dāng)AB=AP時,(9﹣t)2+(4﹣0)2=52,
解得:t1=6,t2=12(舍去),
∴點(diǎn)P1的坐標(biāo)為(6,4).
又∵P1Q1=AB=5,
∴點(diǎn)Q1的坐標(biāo)為(6,9);
(ii)當(dāng)BP=AB時,(9﹣t)2+(5﹣4)2=52,
解得:t3=9﹣2,t4=9+2(舍去),
∴點(diǎn)P2的坐標(biāo)為(9﹣2,4).
又∵P2Q2=AB=5,
∴點(diǎn)Q2的坐標(biāo)為(9﹣2,﹣1).
綜上所述:點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(6,9)或(9﹣2,﹣1).
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