Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，對于點(diǎn)，如果點(diǎn)的縱坐標(biāo)滿縱坐標(biāo)滿足： ，那么稱點(diǎn)為點(diǎn)的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”.

（1）請直接寫出點(diǎn)的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”的坐標(biāo)____________；

（2）若點(diǎn)在函數(shù)的圖像上，其“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”與點(diǎn)重合，求點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）若點(diǎn)的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”在函數(shù)的圖像上，當(dāng)時，求線段的最大值.

Answer 1

【答案】（1）（3,2）；（2）（4,2）；（3）當(dāng)m≥n時，MN有最大值為14；當(dāng)m＜n時，線段MN的最大值為2.

【解析】

（1）根據(jù)關(guān)聯(lián)點(diǎn)的定義，即可得到答案；

（2）根據(jù)關(guān)聯(lián)點(diǎn)的定義，可得到Q點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)重合，得到方程，解方程即可得到答案；

（3）根據(jù)關(guān)聯(lián)點(diǎn)的定義，分成兩種情況，當(dāng)m≥n時，與當(dāng)m＜n時，在每種情況下，求出N的坐標(biāo)，根據(jù)平行于y的直線上的兩點(diǎn)的距離，可得到二次函數(shù)，然后根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)求函數(shù)的最大值即可.

（1）∵3＜5，根據(jù)關(guān)聯(lián)點(diǎn)定義

∴y’=5-3=2

故點(diǎn)（3,5）的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”的坐標(biāo)為（3,2）.

（2）P在函數(shù)y=x-2的圖像上

設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（x，x-2）

∵x＞x-2，根據(jù)關(guān)聯(lián)點(diǎn)定義得到Q點(diǎn)（x，2）

又因?yàn)?/span>P、Q重合，所以有2=x-2，得到x=4

∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（4,2）.

（3）點(diǎn)的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”是，共分兩種情況考慮.

①當(dāng)m≥n時，點(diǎn)N的坐標(biāo)為（m，m-n）

∵N在二次函數(shù)上

∴m-n=2m2，得到n=-2m2+m，

∴yM =-2m2+m，yN=2m2

∴MN=丨yM- yN丨=丨-4m2+m丨

當(dāng)0≤m≤，-4m2+m≥0，

MN=-4m2+m=-4（m-）2+

∴當(dāng)m=時，線段MN的最大值為.

當(dāng)＜m≤2時，-4m2+m＜0，

∴MN=4m2-m=4（m-）2-，當(dāng)m=2時，MN有最大值為14

∴當(dāng)m≥n時，MN有最大值為14；

②當(dāng)m＜n時，點(diǎn)N的坐標(biāo)為（m，n-m）

∵N在二次函數(shù)上

∴n-m=2m2，即n=2m2+m

∴yM =2m2+m，yN=2m2

∴MN=丨yM- yN丨=丨m丨

∵

∴MN=m

當(dāng)m=2時，線段MN的最大值為2.

即當(dāng)m＜n時，線段MN的最大值為2.

∴綜上，當(dāng)m≥n時，MN有最大值為14；當(dāng)m＜n時，線段MN的最大值為2.