如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)A(2,3)為二次函數(shù)y=ax2+bx-2(a≠0)與反比例函數(shù)y=
k
x
(k≠0)
在第一象限的交點(diǎn),已知該拋物線y=ax2+bx-2(a≠0)交x軸正負(fù)半軸分別于E點(diǎn)、D點(diǎn),交y軸負(fù)半軸于B點(diǎn),且tan∠ADE=
1
2

(1)求二次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式;
(2)已知點(diǎn)M為拋物線上一點(diǎn),且在第三象限,順次連接點(diǎn)D、M、B、E,求四邊形DMBE面積的最大值;
(3)在(2)中四邊形DMBE面積最大的條件下,過點(diǎn)M作MH⊥x軸于點(diǎn)H,交EB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,Q為線段HF上一點(diǎn),且點(diǎn)Q到直線BE的距離等于線段OQ的長(zhǎng),求Q點(diǎn)的坐標(biāo).
考點(diǎn):二次函數(shù)綜合題
專題:
分析:(1)把A(2,3)代入反比例函數(shù)的解析式即可求出k的值;由條件tan∠ADE=
1
2
可求出D的坐標(biāo),把A和D點(diǎn)的坐標(biāo)代入到y(tǒng)=ax2+bx-2(a≠0)中求出a和b的值即可去吃二次函數(shù)的解析式;
(2)過M作MH⊥DE于H,設(shè)M的坐標(biāo)為(a,
1
2
a2+
3
2
a-2),由題意可知S四邊形DMBE=S△DHM+S四邊形HOBM+S△OEB,進(jìn)而得到S和a的二次函數(shù)關(guān)系,由函數(shù)的性質(zhì)即可求出四邊形DMBE面積的最大值;
(3)首先由拋物線的解析式可求出拋物線的對(duì)稱軸,設(shè)過EB的直線為y=kx+b,由E和B的坐標(biāo)即可求出其解析式,再通過△QPE∽△EHF,得到
QP
EH
=
QF
EF
,進(jìn)而求出b的值,又Q在線段HF上,所以Q點(diǎn)的坐標(biāo)可求出.
解答:解:(1)將A(2,3)代入y=
k
x
中,
解得:k=6,
y=
6
x

又∵且tan∠ADE=
1
2
,
∴D(-4,0),
將A,D代入y=ax2+bx-2(a≠0)中得:
4a+2b-2=3
16a-4b-2=0
,
解得:
a=
1
2
b=
3
2
,
∴y=
1
2
x2+
3
2
x-2;

(2)過M作MH⊥DE于H,設(shè)M的坐標(biāo)為(a,
1
2
a2+
3
2
a-2),
則S四邊形DMBE=S△DHM+S四邊形HOBM+S△OEB,
=
(a+4)•MH
2
+
(2+MH)•(-a)
2
+
1×2
2

=
aMH+4MH-2a-aMH
2
+1=2MH-a+1,
=2(-
1
2
a2-
3
2
a+2)-a+1,
=-a2-4a+5,
=-(a+2)2+9,
∴當(dāng)a=-2時(shí),四邊形DMBE的面積最大為9;

(3)∵y=
1
2
x2+
3
2
x-2,
∴拋物線的對(duì)稱軸為x=-
b
2a
=-
3
2
,
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為(1,0),
又∵B(0,-2),
∴EB的解析式為y=2x-2,
∴F的坐標(biāo)為(-2,-6),
∴EF=
32+62
=3
5
,
設(shè)Q(-2,b),
∴FQ=b+6,QP=OQ=
4+b2
,
∵△QPF∽△EHF,
QP
EH
=
QF
EF

4+b2
3
=
b+6
3
5
,
∴20+5b2=(b+6)2,
∴b2-3b-4=0,
∴b1=4(舍),b2=-1,
又∵Q在線段HF上,
∴Q(-2,-1).
點(diǎn)評(píng):此題考查了用待定系數(shù)法求二次函數(shù)、一次函數(shù)、反比例函數(shù)的解析式以及各種函數(shù)的性質(zhì)和相似三角形的判定及其性質(zhì)和一元二次方程的求解,題目的綜合性很強(qiáng),難度不小,對(duì)學(xué)生的解題能力要求很高.
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先化簡(jiǎn)(a-
2a-1
a
)+
1-a2
a2+a
,然后從-
6
<a<
6
的范圍內(nèi)選取一個(gè)合適的整數(shù)作為a的值代入求值.

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1
2
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解不等式組
2x-1<3
2-x≤1
,其解集為
 

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