Question

如圖，在等邊△ABC中，D是AC的中點(diǎn)，延長BC至E，使CE=AD．
（1）請說明線段BD與DE的數(shù)量關(guān)系，并予以證明；
（2）若將“D是AC的中點(diǎn)”改為“D是AC上任意一點(diǎn)”，其他條件不變，BD與DE的數(shù)量關(guān)系如何？請畫圖證明．

Answer 1

考點(diǎn)：等邊三角形的性質(zhì),等腰三角形的性質(zhì)

專題：

分析：（1）根據(jù)等邊三角形三線合一的性質(zhì)可得∠CBD=30°，∠ACB=60°，根據(jù)CD=CE可得∠CDE=∠CED，根據(jù)∠CDE+∠CED=∠ACB即可解題；
（2）過E作EF∥BA交AC的延長線于F點(diǎn)，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到∠A=∠ACB=60°，AB=AC，則∠F=60°，∠ECF=60°，得到△CEF為等邊三角形，于是EF=CE=CF，易得AD=EF，AC=DF=AB，根據(jù)三角形全等的判定可得到△ABD≌△FDE，即可得到結(jié)論．

解答：解：（1）∵在等邊△ABC中，D是AC的中點(diǎn)，
∴BD為∠ABC的角平分線，∠ABC=∠ACB=60°
∴∠CBD=

1

2

∠ABC=30°，
∵CD=CE，
∴∠CDE=∠CED，
∵∠CDE+∠CED=∠ACB，
∴∠CDE=∠CED=

1

2

∠ACB=30°，
∴∠CBD=∠CED=30°，
∴BD=DE；
（2）BD=DE，
證明：過E作EF∥BA交AC的延長線于F點(diǎn)，如圖，
∵△ABC為等邊三角形，
∴∠A=∠ACB=60°，AB=AC，
∴∠F=60°，∠ECF=60°，
∴△CEF為等邊三角形，
∴EF=CE=CF，
而AD=CE，
∴AD=EF，AC=DF=AB，
在△ABD和△FDE中，

AB=FD ∠A=∠F AD=FE

，
∴△ABD≌△FDE（SAS），
∴DB=DE；

點(diǎn)評：本題考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)：有兩個(gè)內(nèi)角為60°的三角形為等邊三角形；等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角都等于60°，三邊都相等．也考查了三角形全等的判定與性質(zhì)．