Question

二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a≠0）圖象如圖，下列結(jié)論：

①abc＞0；②2a+b=0；③當m≠1時，a+b＞am²+bm；④a﹣b+c＞0；⑤若ax₁²+bx₁=ax₂²+bx₂，且x₁≠x₂，x₁+x₂=2．

其中正確的有(     )

A．①②③     B．②④  C．②⑤ D．②③⑤

Answer 1

D【考點】二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關系．

【專題】數(shù)形結(jié)合．

【分析】根據(jù)拋物線開口方向得a＜0，由拋物線對稱軸為直線x=﹣=1，得到b=﹣2a＞0，即2a+b=0，由拋物線與y軸的交點位置得到c＞0，所以abc＜0；根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)得當x=1時，函數(shù)有最大值a+b+c，則當m≠1時，a+b+c＞am²+bm+c，即a+b＞am²+bm；根據(jù)拋物線的對稱性得到拋物線與x軸的另一個交點在（﹣1，0）的右側(cè)，則當x=﹣1時，y＜0，所以a﹣b+c＜0；把ax₁²+bx₁=ax₂²+bx₂先移項，再分解因式得到（x₁﹣x₂）[a（x₁+x₂）+b]=0，而x₁≠x₂，則a（x₁+x₂）+b=0，即x₁+x₂=﹣，然后把b=﹣2a代入計算得到x₁+x₂=2．

【解答】解：∵拋物線開口向下，

∴a＜0，

∵拋物線對稱軸為直線x=﹣=1，

∴b=﹣2a＞0，即2a+b=0，所以②正確；

∵拋物線與y軸的交點在x軸上方，

∴c＞0，

∴abc＜0，所以①錯誤；

∵拋物線對稱軸為直線x=1，

∴函數(shù)的最大值為a+b+c，

∴當m≠1時，a+b+c＞am²+bm+c，即a+b＞am²+bm，所以③正確；

∵拋物線與x軸的一個交點在（3，0）的左側(cè)，而對稱軸為直線x=1，

∴拋物線與x軸的另一個交點在（﹣1，0）的右側(cè)

∴當x=﹣1時，y＜0，

∴a﹣b+c＜0，所以④錯誤；

∵ax₁²+bx₁=ax₂²+bx₂，

∴ax₁²+bx₁﹣ax₂²﹣bx₂=0，

∴a（x₁+x₂）（x₁﹣x₂）+b（x₁﹣x₂）=0，

∴（x₁﹣x₂）[a（x₁+x₂）+b]=0，

而x₁≠x₂，

∴a（x₁+x₂）+b=0，即x₁+x₂=﹣，

∵b=﹣2a，

∴x₁+x₂=2，所以⑤正確．

故選：D．

【點評】本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關系：二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a≠0），二次項系數(shù)a決定拋物線的開口方向和大�。寒攁＞0時，拋物線開口向上；當a＜0時，拋物線開口向下；一次項系數(shù)b和二次項系數(shù)a共同決定對稱軸的位置，當a與b同號時（即ab＞0），對稱軸在y軸左側(cè)；當a與b異號時（即ab＜0），對稱軸在y軸右側(cè)；常數(shù)項c決定拋物線與y軸交點．拋物線與y軸交于（0，c）；拋物線與x軸交點個數(shù)由△決定，△=b²﹣4ac＞0時，拋物線與x軸有2個交點；△=b²﹣4ac=0時，拋物線與x軸有1個交點；△=b²﹣4ac＜0時，拋物線與x軸沒有交點．