Question

二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a≠0）圖象如圖，下列結(jié)論：

①abc＞0；②2a+b=0；③當(dāng)m≠1時(shí)，a+b＞am²+bm；④a﹣b+c＞0；⑤若ax₁²+bx₁=ax₂²+bx₂，且x₁≠x₂，x₁+x₂=2．

其中正確的有(     )

A．①②③     B．②④  C．②⑤ D．②③⑤

Answer 1

D【考點(diǎn)】二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系．

【專題】數(shù)形結(jié)合．

【分析】根據(jù)拋物線開口方向得a＜0，由拋物線對(duì)稱軸為直線x=﹣=1，得到b=﹣2a＞0，即2a+b=0，由拋物線與y軸的交點(diǎn)位置得到c＞0，所以abc＜0；根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)得當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)有最大值a+b+c，則當(dāng)m≠1時(shí)，a+b+c＞am²+bm+c，即a+b＞am²+bm；根據(jù)拋物線的對(duì)稱性得到拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)在（﹣1，0）的右側(cè)，則當(dāng)x=﹣1時(shí)，y＜0，所以a﹣b+c＜0；把a(bǔ)x₁²+bx₁=ax₂²+bx₂先移項(xiàng)，再分解因式得到（x₁﹣x₂）[a（x₁+x₂）+b]=0，而x₁≠x₂，則a（x₁+x₂）+b=0，即x₁+x₂=﹣，然后把b=﹣2a代入計(jì)算得到x₁+x₂=2．

【解答】解：∵拋物線開口向下，

∴a＜0，

∵拋物線對(duì)稱軸為直線x=﹣=1，

∴b=﹣2a＞0，即2a+b=0，所以②正確；

∵拋物線與y軸的交點(diǎn)在x軸上方，

∴c＞0，

∴abc＜0，所以①錯(cuò)誤；

∵拋物線對(duì)稱軸為直線x=1，

∴函數(shù)的最大值為a+b+c，

∴當(dāng)m≠1時(shí)，a+b+c＞am²+bm+c，即a+b＞am²+bm，所以③正確；

∵拋物線與x軸的一個(gè)交點(diǎn)在（3，0）的左側(cè)，而對(duì)稱軸為直線x=1，

∴拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)在（﹣1，0）的右側(cè)

∴當(dāng)x=﹣1時(shí)，y＜0，

∴a﹣b+c＜0，所以④錯(cuò)誤；

∵ax₁²+bx₁=ax₂²+bx₂，

∴ax₁²+bx₁﹣ax₂²﹣bx₂=0，

∴a（x₁+x₂）（x₁﹣x₂）+b（x₁﹣x₂）=0，

∴（x₁﹣x₂）[a（x₁+x₂）+b]=0，

而x₁≠x₂，

∴a（x₁+x₂）+b=0，即x₁+x₂=﹣，

∵b=﹣2a，

∴x₁+x₂=2，所以⑤正確．

故選：D．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系：二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a≠0），二次項(xiàng)系數(shù)a決定拋物線的開口方向和大小：當(dāng)a＞0時(shí)，拋物線開口向上；當(dāng)a＜0時(shí)，拋物線開口向下；一次項(xiàng)系數(shù)b和二次項(xiàng)系數(shù)a共同決定對(duì)稱軸的位置，當(dāng)a與b同號(hào)時(shí)（即ab＞0），對(duì)稱軸在y軸左側(cè)；當(dāng)a與b異號(hào)時(shí)（即ab＜0），對(duì)稱軸在y軸右側(cè)；常數(shù)項(xiàng)c決定拋物線與y軸交點(diǎn)．拋物線與y軸交于（0，c）；拋物線與x軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)由△決定，△=b²﹣4ac＞0時(shí)，拋物線與x軸有2個(gè)交點(diǎn)；△=b²﹣4ac=0時(shí)，拋物線與x軸有1個(gè)交點(diǎn)；△=b²﹣4ac＜0時(shí)，拋物線與x軸沒有交點(diǎn)．