【題目】在直角坐標(biāo)系中,(為坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn),點(diǎn)是中點(diǎn),連接(將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn),得到,記旋轉(zhuǎn)角為,點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是,連接是中點(diǎn),連接.
(1)如圖①,當(dāng)時(shí),求點(diǎn)的坐標(biāo);
(2)如圖②,當(dāng)時(shí),求證,且;
(3)當(dāng)旋轉(zhuǎn)至點(diǎn)共線時(shí),求點(diǎn)的坐標(biāo)(直接寫出結(jié)果即可) .
【答案】(1)點(diǎn);(2)見解析;(3)點(diǎn)或.
【解析】
(1)過點(diǎn)作,垂足為,由旋轉(zhuǎn)圖形性質(zhì),得到AM的長,再應(yīng)用解直角三角形的知識(shí)問題可解;
(2)根據(jù)直角三角形斜邊上中線等于斜邊一半可證OP=PN,再由三角形內(nèi)角和知識(shí),證明即可;
(3)根據(jù)題意畫出滿足條件圖形,過M做于點(diǎn)E,利用銳角三角函數(shù)和旋轉(zhuǎn)的知識(shí),求出,則問題可解.
(1)如圖點(diǎn),點(diǎn)
是中點(diǎn)
,
且
即為等腰直角三角形
當(dāng)時(shí),
點(diǎn)落在上,
由旋轉(zhuǎn)可知
過點(diǎn)作,垂足為
則
則
點(diǎn)
如圖,當(dāng)時(shí),
點(diǎn)共線,點(diǎn)共線
,
且是中點(diǎn),
,
且
則
可得
即
即
當(dāng)點(diǎn)B、M、N共線,M位于B、N之間時(shí),如圖
過M做于點(diǎn)E
由已知,,
在中,
在中,
則點(diǎn)M坐標(biāo)為
當(dāng)點(diǎn)B、M、N共線,N位于B、M之間時(shí),如圖
過M做于點(diǎn)E
由已知,,
在中,
在中,
則點(diǎn)M坐標(biāo)為
綜上,點(diǎn)或
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在正方形ABCD中,E是CD邊上的點(diǎn),過點(diǎn)E作EF⊥BD于F.
(1)尺規(guī)作圖:在圖中求作點(diǎn)E,使得EF=EC;(保留作圖痕跡,不寫作法)
(2)在(1)的條件下,連接FC,求∠BCF的度數(shù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為了解學(xué)生居家學(xué)習(xí)期間對(duì)函數(shù)知識(shí)的掌握情況,某學(xué)校數(shù)學(xué)教師對(duì)九年級(jí)全體學(xué)生進(jìn)行了一次摸底測(cè)試,測(cè)試含一次函數(shù)、二次函數(shù)和反比例函數(shù)三項(xiàng)內(nèi)容,每項(xiàng)滿分10分.現(xiàn)隨機(jī)抽取20名學(xué)生的成績(成績均為整數(shù))進(jìn)行收集、整理、描述和分析,下面給出了部分信息:
a.該20名學(xué)生一次函數(shù)測(cè)試成績?nèi)缦拢?/span>7 9 10 9 7 6 8 10 10 8 6 10 10 9 10 9 9 9 10 10
b.該20名學(xué)生總成績和二次函數(shù)測(cè)試成績情況統(tǒng)計(jì)圖:
c.該20名學(xué)生總成績平均分為25分,一次函數(shù)測(cè)試平均分為8.8分.
根據(jù)以上信息,回答下列問題:
(1)該20名學(xué)生一次函數(shù)測(cè)試成績的中位數(shù)是 ,眾數(shù)是 .
(2)若該校九年級(jí)共有400名學(xué)生,且總成績不低于26分的學(xué)生成績記為優(yōu)秀,估計(jì)該校九年級(jí)本次測(cè)試總成績優(yōu)秀的約有 人.
(3)在總成績和二次函數(shù)測(cè)試成績情況統(tǒng)計(jì)圖中,A同學(xué)的一次函數(shù)測(cè)試成績是 分;若B同學(xué)的反比例函數(shù)測(cè)試成績是8分,則B同學(xué)的一次函數(shù)測(cè)試成績是 分.
(4)一次函數(shù)、二次函數(shù)和反比例函數(shù)三項(xiàng)內(nèi)容中,學(xué)生掌握情況最不好的是 .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】四張大小、形狀都相同的卡片上分別寫有數(shù)字1,2,3,4,把它們放入不透明的盒子中搖勻.
(1)從中隨機(jī)抽出1張卡片,抽出的卡片上的數(shù)字恰好是偶數(shù)的概率為 .
(2)從中隨機(jī)抽出1張卡片,記錄數(shù)字后放回?fù)u勻,再抽出一張卡片,記錄數(shù)字.用樹狀圖或列表法求兩次抽出的卡片上的數(shù)字恰好是兩個(gè)相鄰整數(shù)的概率.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在每個(gè)小正方形的邊長為的網(wǎng)格中,點(diǎn)均在格點(diǎn)上,為小正方形邊中點(diǎn).
(1)的長等于 ______;
(2)請(qǐng)?jiān)谌鐖D所示的網(wǎng)格中,用無刻度的直尺,畫出一個(gè)點(diǎn),使其滿足說明點(diǎn)的位置是如何找到的(不要求證明)______.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】五一前夕,某時(shí)裝店老板到廠家選購兩種品牌的時(shí)裝,若購進(jìn)品牌的時(shí)裝套,品牌的時(shí)裝套,需要元;若購進(jìn)品牌的時(shí)裝套,品牌的時(shí)裝套,需要元.
(1)求兩種品牌的時(shí)裝每套進(jìn)價(jià)分別為多少元?
(2)若套品牌的時(shí)裝售價(jià)元,套品牌的時(shí)裝售價(jià)元,時(shí)裝店將購進(jìn)的兩種時(shí)裝共套全部售出,所獲利潤要不少于元,問品牌時(shí)裝至少購進(jìn)多少套?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知拋物線為常數(shù),)與直線都經(jīng)過兩點(diǎn),是該拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)作軸的垂線交直線于點(diǎn),交x軸于點(diǎn)H.
(1)求此拋物線和直線的解析式;
(2)當(dāng)點(diǎn)在直線下方時(shí),求取得最大值時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo);
(3)設(shè)該拋物線的頂點(diǎn)為直線與該拋物線的對(duì)稱軸交于點(diǎn).當(dāng)以點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí),求點(diǎn)的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】先閱讀下列材料,再解答問題.
尺規(guī)作圖
已知:△ABC,D是邊AB上一點(diǎn),如圖1,
求作:四邊形DBCF,使得四邊形DBCF是平行四邊形.
小明的做法如下:
請(qǐng)你參考小明的做法,再設(shè)計(jì)一一種尺規(guī)作圖的方法(與小明的方法不同),使得畫出的四邊形DBCF是平行四邊形,并證明.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】甲、乙兩隊(duì)參加了“端午情,龍舟韻”賽龍舟比賽,兩隊(duì)在比賽時(shí)的路程s(米)與時(shí)間t(秒)之間的函數(shù)圖象如圖所示,根據(jù)圖象有以下四個(gè)判斷:
①乙隊(duì)率先到達(dá)終點(diǎn);
②甲隊(duì)比乙隊(duì)多走了126米;
③在47.8秒時(shí),兩隊(duì)所走路程相等;
④從出發(fā)到13.7秒的時(shí)間段內(nèi),甲隊(duì)的速度比乙隊(duì)的慢.
所有正確判斷的序號(hào)是_____.
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