【題目】如圖1,在ABC中,,,點(diǎn)D是AB中點(diǎn),
(1)點(diǎn)E為邊AC上一點(diǎn),連接CD,DE,以DE為邊在DE的左側(cè)作等邊三角形DEF,連接BF.
(i)求證:△BCD為等邊三角形;
(ii)隨著點(diǎn)E位置的變化,的度數(shù)是否變化?若不變化,求出的度數(shù);
(2)DPAB交AC于點(diǎn)P,點(diǎn)E為線段AP上一點(diǎn),連結(jié)BE,作,如圖2所示,EQ交PD延長線于Q,探究線段PE,PQ與AP之間的數(shù)量關(guān)系,并證明.
【答案】(1)(i)見解析;(ii)∠DBF的度數(shù)不變,∠DBF=30°;(2) PQ=AP+ PE,證明見解析.
【解析】
(1)(i)由∠C=90°、∠A=30°,可得出AB=2BC、∠CBD=60°,根據(jù)直角三角形斜邊上的中線定理可得出BD=BC,即可得出△BCD為等邊三角形;
(ii)由(i)可得出∠ECD=30°,根據(jù)∠BDC=∠EDF=60°可得出∠BDF=∠CDE,再結(jié)合BD=CD、DF=DE即可得出△BDF≌△CDE(SAS),根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得出∠DBF=∠DCE=30°,即∠DBF的度數(shù)不變;
(2)連接BP,延長BP至F,使PF=PE,連接EF,證出△PEF為等邊三角形,得出PF=PE=EF,∠F=∠EPF=60°,得到∠F=∠BPQ=60°,證出∠Q=∠EBF,由AAS證明△BEF≌△QEP,得出PQ=FB=BP+PF=BP+PE,證出AP=BP,即可得出結(jié)論.
解:(1)(i)∵在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,
∴AB=2BC,∠CBD=60°.
∵點(diǎn)D是AB中點(diǎn),
∴BD=BC,
∴△BCD為等邊三角形;
(ii)∠DBF的度數(shù)不變,
∵∠ACB=90°,點(diǎn)D是AB中點(diǎn),
∴CD=AB=AD,
∴∠ECD=30°.
∵△BDC為等邊三角形,
∴BD=DC,∠BDC=60°.
又∵△DEF為等邊三角形,
∴DF=DE,∠FDE=60°,
∴∠BDC +∠FDC=∠FDE+∠FDC,
∴∠BDF=∠CDE.
在△BDF和△CDE中,
,
∴△BDF≌△CDE(SAS),
∴∠DBF=∠DCE=30°,
即∠DBF的度數(shù)不變,∠DBF=30°;
(2) PQ=AP+ PE,理由如下:
連接BP,延長BP至F,使PF=PE,連接EF,如圖所示:
∵在ABC中,,,點(diǎn)D是AB中點(diǎn),DPAB,
∴AP=BP,∠ABP=∠A=30°,
∵∠FPE=∠A+∠ABP=30°+30°=60°,
∴△PEF為等邊三角形,
∴PF=PE=EF,∠F=60°,
∵∠APQ=90°∠A=60°,
∴∠F=∠QPE=60°,
∴∠BPQ=180°∠APQ∠FPE=60°,
∴∠BPQ=∠BEQ=60°,
∴∠Q=∠EBF,
在△BEF和△QEP中,
∴△BEF≌△QEP,
∴PQ=FB=BP+PF,
∵AP=BP,PE=PF,
∴PQ=AP+ PE.
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【題目】如圖,已知點(diǎn)A(m-4,m+1)在x軸上,將點(diǎn)A右移8個單位,上移4個單位得到點(diǎn)B.
(1)則m= ;B點(diǎn)坐標(biāo)( );
(2)連接AB交y軸于點(diǎn)C,則= ;
(3)點(diǎn)D是x軸上一點(diǎn),△ABD的面積為12,求D點(diǎn)坐標(biāo).
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【題目】電視節(jié)目“奔跑吧兄弟”播出后深受中學(xué)生喜愛,小睿想知道大家最喜歡哪位“兄弟”,于是在本校隨機(jī)抽取部分學(xué)生進(jìn)行抽查每人只能選一個自己最喜歡的“兄弟”,得到如圖所示的統(tǒng)計圖,
請結(jié)合圖中提供的信息解答下列問題:
若小睿所在學(xué)校有1800名學(xué)生,估計全校喜歡“鹿晗”兄弟的學(xué)生人數(shù).
小睿和小軒都喜歡“陳赫”,小彤喜歡“鹿晗”,從他們?nèi)酥须S機(jī)抽選兩人參加“撕名牌”游戲,求選中的兩人中“一人喜歡陳赫,一人喜歡鹿晗”的概率要求列表或畫樹狀圖
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,直角三角形與直角三角形的斜邊在同一直線上,,,平分,將繞點(diǎn)按逆時針方向旋轉(zhuǎn),記為,在旋轉(zhuǎn)過程中:
(1)如圖,當(dāng)______時,,當(dāng)______時,;
(2)如圖,當(dāng)頂點(diǎn)在內(nèi)部時,邊、分別交、的延長線于點(diǎn)、,記,.
①與度數(shù)的和是否變化?若不變,求出與度數(shù)和;若變化,請說明理由;
②若使得,求出、的度數(shù),并直接寫出此時的度數(shù).
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【題目】下列說法正確的是( )
A. 擲一枚均勻的骰子,骰子停止轉(zhuǎn)動后,6點(diǎn)朝上是必然事件
B. 甲、乙兩人在相同條件下各射擊10次,他們的成績平均數(shù)相同,方差分別是S甲2=0.4,S乙2=0.6,則甲的射擊成績較穩(wěn)定
C. “明天降雨的概率為”,表示明天有半天都在降雨
D. 了解一批電視機(jī)的使用壽命,適合用普查的方式
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【題目】如圖,甲、乙兩人在道路的兩邊相向而行,當(dāng)甲、乙兩人分別行至點(diǎn)A、C時,測得乙在甲的北偏東60°方向上.乙留在原地休息,甲繼續(xù)向前走了40米到B處,此時測得乙在其北偏東30°方向上.求道路的寬(參考數(shù)據(jù):)
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【題目】在一次質(zhì)檢抽測中,隨機(jī)抽取某攤位20袋食鹽,測得各袋的質(zhì)量分別為(單位:g):492,496,494,495,498,497,501,502,504,496,497,503,506,508,507,492,496,500,501,499,根據(jù)以上抽測結(jié)果,任買一袋該攤位的食鹽,質(zhì)量在497.5 g~501.5 g之間的概率為( )
A. B. C. D.
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【題目】如圖,E是正方形ABCD邊AB的中點(diǎn),連接CE,過點(diǎn)B作BH⊥CE于F,交AC于G,交AD于H.下列說法: ;②點(diǎn)F是GB的中點(diǎn); ; ,其中正確的結(jié)論的序號是_____________
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【題目】如圖,∠ABC=∠ACB,AD、BD、CD分別平分△ABC的外角∠EAC、內(nèi)角∠ABC、外角∠AFC,以下結(jié)論:①AD∥BC;②∠ACB=2∠ADB;③∠ADC=90°—∠ABD;④∠BDC=∠BAC,其中正確的結(jié)論有_____________。
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