Question

已知，如圖，在△ABC中，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E是BD的中點(diǎn)，AB=BD
求證：∠CAD=∠EAD．

Answer 1

考點(diǎn)：含30度角的直角三角形,等邊三角形的判定與性質(zhì)

專題：證明題

分析：過點(diǎn)A作AF平行且等于BD，判斷出四邊形ABCF為菱形，根據(jù)菱形的四條邊都相等可得AF=DF=BD，菱形的對角線平分一組對角線可得∠ADB=∠ADF，連接FC，得到四邊形ADCF為平行四邊形，根據(jù)平行四邊形對角線互相平分可得DF=DG，從而得到DE=DG，再利用“邊角邊”證明△AED和△AGD全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等證明即可．

解答：證明：如圖，過點(diǎn)A作AF平行且等于BD，
所以，四邊形ABDF是平行四邊形，
∵AB=BD，
∴ABCF為菱形，
∴AF=DF=BD，∠ADB=∠ADF，
連接FC，
又∵BD=CD，
∴四邊形ADCF為平行四邊形，
∴G為DF中點(diǎn)，
∵點(diǎn)E是BD的中點(diǎn)，
∴DE=

1

2

BD，
∴DE=DG，
在△AED和△AGD中，

DE=DG ∠ADB=∠ADF AD=AD

，
∴△AED≌△AGD（SAS），
∴∠CAD=∠EAD．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了菱形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，綜合題，難度較大，作輔助線構(gòu)造出菱形和全等三角形是解題的關(guān)鍵．