【題目】【問(wèn)題發(fā)現(xiàn)】
(1)如圖(1),四邊形ABCD中,若AB=AD,CB=CD,則線段BD,AC的位置關(guān)系為__________;
【拓展探究】
(2)如圖(2),在Rt△ABC中,點(diǎn)F為斜邊BC的中點(diǎn),分別以AB,AC為底邊,在Rt△ABC外部作等腰三角形ABD和等腰三角形ACE,連接FD,F(xiàn)E,分別交AB,AC于點(diǎn)M,N.試猜想四邊形FMAN的形狀,并說(shuō)明理由;
【解決問(wèn)題】
(3)如圖(3),在正方形ABCD中,AB=2,以點(diǎn)A為旋轉(zhuǎn)中心將正方形ABCD旋轉(zhuǎn)60°,得到正方形AB'C'D',請(qǐng)直接寫出BD'平方的值.
【答案】(1)AC垂直平分BD(2)四邊形FMAN是矩形(3)BD′的平方為16+8或16–8
【解析】試題分析:(1)根據(jù)AB=AD、CB=CD可知點(diǎn)A、C在線段BD的垂直平分線上,從而可得;
(2)連接AF,判斷出DF是AB的垂直平分線,從而可得∠FMA=90,同理可得∠FNA=90,再根據(jù)∠MAN=90,即可判斷出四邊形FMAN為矩形;
(3)分逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)與順時(shí)針旋轉(zhuǎn)兩種情況分別討論即可得.
試題解析:(1)∵AB=AD,∴點(diǎn)A在線段BD的垂直平分線上,
∵CB=CD,∴點(diǎn)C在線段BD的垂直平分線上,
∵點(diǎn)A、點(diǎn)C是不同的點(diǎn),
∴AC⊥BD,
故答案為:垂直;
(2)猜想:四邊形FMAN是矩形,理由如下:
連接AF,在Rt△ABC中,∵點(diǎn)F為BC的中點(diǎn),
AF=BF,
在等腰三角形ADB中,AD=BD,
FD垂直平分AB,∠FMA=90,
同理可得∠FNA=90,又∵∠MAN=90,
四邊形FMAN為矩形;
(3)當(dāng)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60度時(shí),如圖,過(guò)點(diǎn)D′作D′⊥AB,交BA延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,
則有∠D′AE=30°,∴D′E=AD′=1,AE=,
∴BE=,∴BD′2=BE2+ED′2=()2+12=8+4;
當(dāng)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60度時(shí),如圖,過(guò)點(diǎn)D′作D′⊥AB,交BA于點(diǎn)E,
則有∠D′AE=30°,∴D′E=AD′=1,AE=,
∴BE=,∴BD′2=BE2+ED′2=()2+12=8-4,
綜上,BD′2的值為8+4或8-4.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,將平行四邊形ABCD折疊,使頂點(diǎn)D落在AB邊上的點(diǎn)E處,折痕為AF,下列說(shuō)法中不正確的是( 。
A.EF∥BCB.EF=AEC.BE=CFD.AF=BC
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【題目】如圖,已知點(diǎn)E,C在線段BF上,BE=EC=CF,AB∥DE,∠ACB=∠F.
(1)求證:△ABC≌△DEF;
(2)求證:四邊形ACFD為平行四邊形.
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【題目】為了對(duì)一棵傾斜的古杉樹AB進(jìn)行保護(hù),需測(cè)量其長(zhǎng)度,如圖,在地面上選取一點(diǎn)C,測(cè)得∠ACB=45,AC=24 m,∠BAC=66.5,求這棵古杉樹AB的長(zhǎng)度.(結(jié)果精確到0.1 m.參考數(shù)據(jù):sin66.5≈0.92,cos66.5≈0.40,tan66.5≈2.30)
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【題目】如圖,將邊長(zhǎng)為4的正方形紙片沿折疊,點(diǎn)落在邊上的點(diǎn)處,點(diǎn)與點(diǎn)重合, 與交于點(diǎn),取的中點(diǎn),連接,則的周長(zhǎng)最小值是__________.
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【題目】已知△ABC,分別以BC,AB,AC為邊作等邊三角形BCE,ACF,ABD
(1)若存在四邊形ADEF,判斷它的形狀,并說(shuō)明理由.
(2)存在四邊形ADEF的條件下,請(qǐng)你給△ABC添個(gè)條件,使得四邊形ADEF成為矩形,并說(shuō)明理由.
(3)當(dāng)△ABC滿足什么條件時(shí)四邊形ADEF不存在.
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【題目】在長(zhǎng)方形紙片ABCD中,AB=m,AD=n,將兩張邊長(zhǎng)分別為6和4的正方形紙片按圖1,圖2兩種方式放置(圖1,圖2中兩張正方形紙片均有部分重疊),長(zhǎng)方形中未被這兩張正方形紙片覆蓋的部分用陰影表示,設(shè)圖1中陰影部分的面積為S1,圖2中陰影部分的面積為S2.
(1)在圖1中,EF=___,BF=____;(用含m的式子表示)
(2)請(qǐng)用含m、n的式子表示圖1,圖2中的S1,S2,若m-n=2,請(qǐng)問(wèn)S2-S1的值為多少?
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【題目】如圖是拋物線形拱橋,當(dāng)拱頂離水面2m時(shí),水面寬4m,則水面下降1m時(shí),水面寬度增加_____m.
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【題目】關(guān)于x的一元二次方程x2+(2k+1)x+k2+1=0有兩個(gè)不等實(shí)根x1、x2.
(1)求實(shí)數(shù)k的取值范圍.
(2)若方程兩實(shí)根x1、x2滿足x1+x2=﹣x1x2,求k的值.
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