【題目】閱讀下列材料,并按要求解答.
(模型介紹)
如圖①,C是線段A、B上一點E、F在AB同側(cè),且∠A=∠B=∠ECF=90°,看上去像一個“K“,我們稱圖①為“K”型圖.
(性質(zhì)探究)
性質(zhì)1:如圖①,若EC=FC,△ACE≌△BFC
性質(zhì)2:如圖①,若EC≠FC,△ACE~△BFC且相似比不為1.
(模型應(yīng)用)
應(yīng)用1:如圖②,在四邊形ABCD中,∠ADC=90°,AD=1,CD=2,BC=2,AB=5.求BD.
應(yīng)用2:如圖③,已知△ABC,分別以AB、AC為邊向外作正方形ABGF、正方形ACDE,AH⊥BC,連接EF.交AH的反向延長線于點K,證明:K為EF中點.
(1)請你完成性質(zhì)1的證明過程;
(2)請分別解答應(yīng)用1,應(yīng)用2提出的問題.
【答案】(1)證明見解析;(2)應(yīng)用1: BD=4;應(yīng)用2:證明見解析.
【解析】
(1)根據(jù)AAS即可證明;
(2)①應(yīng)用1:如圖2中,連接AC,作BH⊥DC交DC的延長線與H.首先證明符合“k模型”,利用性質(zhì)2根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可解決問題;
②應(yīng)用2:如圖③中,作FM⊥KH于M,EN⊥HN于N.由性質(zhì)1可知:△ABH≌△FAM,△AHC≌△ENA,推出FM=AH,AH=EN,推出FM=EN,再證明△FKN≌△EKN即可解決問題.
(1)如圖①中,
∵∠A=∠ECF=∠B=90°,
∴∠ACE+∠BCF=90°,∠BCF+∠F=90°,
∴∠ACE=∠F,∵EC=CF,
∴△ACE≌△BFC.
(2)①應(yīng)用1:如圖2中,連接AC,作BH⊥DC交DC的延長線與H.
在Rt△ADC中,∵∠ADC=90°,AD=1,CD=2,
∴AC==,
∵AC2+BC2=5+20=25,AB2=52=25,
∴AC2+BC2=AB2,
∴∠ACB=90°,
∴∠ADC=∠ACB=∠CHB=90°,
∴符合“K”型圖,
∴△ACD∽△CBH,
∴,
∴,
∵CH=2,BH=4,
∴DH=4,
在Rt△BDH中,BD==4.
應(yīng)用2:如圖③中,作FM⊥KH于M,EN⊥HN于N,
由性質(zhì)1可知:△ABH≌△FAM,△AHC≌△ENA,
∴FM=AH,AH=EN,
∴FM=EN,
∵∠FKM=∠EKN,∠M=∠ENK=90°,
∴△FKN≌△EKN,
∴FK=KE,
∴K為EF中點.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】寬與長的比是(約為0.618)的矩形叫做黃金矩形,黃金矩形蘊藏著豐富的美學(xué)價值,給我們以協(xié)調(diào)和勻稱的美感.我們可以用這樣的方法畫出黃金矩形:如圖,作正方形ABCD,分別取AD,BC的中點E,F,連接EF,DF,作∠DFC的平分線,交AD的延長線于點H,作HG⊥BC,交BC的延長線于點G,則下列矩形是黃金矩形的是( 。
A.矩形ABFEB.矩形EFCDC.矩形EFGHD.矩形DCGH
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】寶安區(qū)的某商場經(jīng)市場調(diào)查,預(yù)計一款夏季童裝能獲得市場青睞,便花費 15000 元購進(jìn)了一批此款童裝,上市后很快售罄.該店決定繼續(xù)進(jìn)貨,由于第二批進(jìn)貨數(shù)量是第一批進(jìn)貨數(shù)量的 2 倍,因此單價便宜了 10 元,購進(jìn)第二批童裝一共花費了 27000 元.
(1)該店所購進(jìn)的第一批童裝的單價是多少元?
(2)兩批童裝按相同標(biāo)價出售,經(jīng)理根據(jù)市場情況,決定對第二批剩余的 100 件打七折銷售.若兩批童裝全部售完后,利潤不低于 30%,那么每件童裝標(biāo)價至少是多少元?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,點P從原點O出發(fā),沿x軸向右以每秒1個單位長的速度運動t(t>0)秒,拋物線經(jīng)過點O和點P.已知矩形ABCD的三個頂點為A(1,0),B(1,4),D(4,0).
(1)求c,b(可用含t的代數(shù)式表示);
(2)當(dāng)t>1時,拋物線與線段交于點M,交x軸于點E.在點P的運動過程中,你認(rèn)為∠AMP的大小是否會變化?若變化,說明理由;若不變,求出∠AMP的值;
(3)點P為x正半軸上的動點,線段PM與線段BC有公共點時,求點P的橫坐標(biāo)t的取值范圍.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,已知△ABC三個頂點的坐標(biāo)分別是A(2,2),B(3,0),C(1,﹣1),AC交x軸于點P.
(1)∠ACB的度數(shù)為_____;
(2)P點坐標(biāo)為______;
(3)以點O為位似中心,將△ABC放大為原來的2倍,請在圖中畫出所有符合條件的三角形.
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【題目】某車間加工300個零件,加工完80個以后,改進(jìn)了操作方法,每天能多加工15個,一共用了6天完成任務(wù).求改進(jìn)操作方法后每天加工的零件個數(shù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某學(xué)校將開啟“大閱讀”活動,為了充實書吧藏書,學(xué)生會號召全年級學(xué)生捐書,得到各班的大力支持.同時,年級部分備課組的老師也購買藏書充實到年級書吧,其中數(shù)學(xué)組購買了甲、乙兩種自然科學(xué)書籍若干本,用去699元;語文組購買了A、B兩種文學(xué)書籍若干本,用去6138元,已知A、B的數(shù)量分別與甲、乙的數(shù)量相等,且甲種書與B種書的單價相同,乙種書與A種書的單價相同,若甲種書的單價比乙種書的單價多7元,則乙種書籍比甲種書籍多買了_____本.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某校舉行了“文明在我身邊”攝影比賽,已知每幅參賽作品成績記為x分(60≤x≤100).校方從600幅參賽作品中隨機(jī)抽取了部分步賽作品,統(tǒng)計了它們的成績,并繪制了如下不完整的統(tǒng)計圖表.
“文明在我身邊”攝影比賽成績統(tǒng)計表
分?jǐn)?shù)段 | 頻數(shù) | 頻率 |
60≤x<70 | 18 | 0.36 |
70≤x<80 | 17 | c |
80≤x<90 | a | 0.24 |
90≤x≤100 | b | 0.06 |
合計 | 1 |
根據(jù)以上信息解答下列問題:
(1)統(tǒng)計表中a= ,b= ,c= .
(2)補全數(shù)分布直方圖;
(3)若80分以上的作品將被組織展評,試估計全校被展評作品數(shù)量是多少?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知:在平面直角坐標(biāo)系中,點為坐標(biāo)原點,直線分別交軸,軸于點,,點在第一象限,連接,,四邊形是正方形.
(1)如圖1,求直線的解析式;
(2)如圖2,點分別在上,點關(guān)于軸的對稱點為點,點在上,且,連接,,設(shè)點的橫坐標(biāo)為,的面積為,求與之間的函數(shù)關(guān)系式,并直接寫出自變量的取值范圍;
(3)如圖3,在(2)的條件下,連接,,,點在上,且,點在上,連接交于點,,且,若,求的值.
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