【題目】將一副三角尺(在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠B=60°;在Rt△DEF中,∠EDF=90°,∠E=45°)如圖1擺放,點(diǎn)D為AB邊的中點(diǎn),DE交AC于點(diǎn)P,DF經(jīng)過點(diǎn)C,且BC=2.
(1)求證:△ADC∽△APD;
(2)求△APD的面積;
(3)如圖2,將△DEF繞點(diǎn)D順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角α(0°<α<60°),此時(shí)的等腰直角三角尺記為△DE′F′,DE′交AC于點(diǎn)M,DF′交BC于點(diǎn)N,試判斷的值是否隨著α的變化而變化?如果不變,請求出的值;反之,請說明理由.
【答案】(1)見解析;(2) ;(3) 不會(huì)隨著α的變化而變化
【解析】
(1)先判斷出△BCD是等邊三角形,進(jìn)而求出∠ADP=∠ACD,即可得出結(jié)論;
(2)求出PH,最后用三角形的面積公式即可得出結(jié)論;
(3)只要證明△DPM和△DCN相似,再根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例即可證明.
(1)證明:∵△ABC是直角三角形,點(diǎn)D是AB的中點(diǎn),
∴AD=BD=CD,
∵在△BCD中,BC=BD且∠B=60°,
∴△BCD是等邊三角形,
∴∠BCD=∠BDC=60°,
∴∠ACD=90°-∠BCD=30°,
∠ADE=180°-∠BDC-∠EDF=30°,
在△ADC與△APD中,∠A=∠A,∠ACD=∠ADP,
∴△ADC∽△APD.
(2)由(1)已得△BCD是等邊三角形,∴BD=BC=AD=2,
過點(diǎn)P作PH⊥AD于點(diǎn)H,
∵∠ADP=30°=90°-∠B=∠A,
∴AH=DH=1, tanA=,
∴PH=.
∴△APD的面積=AD·PH=
(3)的值不會(huì)隨著α的變化而變化.
∵∠MPD=∠A+∠ADE=30°+30°=60°,∴∠MPD=∠BCD=60°,
在△MPD與△NCD中,∠MPD=∠NCD=60°,∠PDM=∠CDN=α,
∴△MPD∽△NCD,∴,
由(1)知AD=CD,∴,
由(2)可知PD=2AH,∴PD=,
∴.
∴的值不會(huì)隨著α的變化而變化.
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【題目】如圖,點(diǎn)、分別在、上,連接,平分交于點(diǎn),,.
(1)與平行嗎?并說明理由;
(2)寫出圖中與相等的角,并說明理由;
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【題目】如圖,拋物線y=(x﹣3)2與x軸交于A、B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在B的左側(cè)),與y軸交于C點(diǎn),頂點(diǎn)D.
(1)求點(diǎn)A、B、D三點(diǎn)的坐標(biāo);
(2)連結(jié)CD交x軸于G,過原點(diǎn)O作OE⊥CD,垂足為H,交拋物線對(duì)稱軸于E,求出E點(diǎn)的縱坐標(biāo);
(3)以②中點(diǎn)E為圓心,1為半徑畫圓,在對(duì)稱軸右側(cè)的拋物線上有一動(dòng)點(diǎn)P,過P作⊙E的切線,切點(diǎn)為Q,當(dāng)PQ的長最小時(shí),求點(diǎn)P的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(本題6分)甲、乙兩人進(jìn)行摸牌游戲.現(xiàn)有三張形狀大小完全相同的牌,正面分別標(biāo)有數(shù)字2,3,5.將三張牌背面朝上,洗勻后放在桌子上.
(1)甲從中隨機(jī)抽取一張牌,記錄數(shù)字后放回洗勻,乙再隨機(jī)抽取一張.請用列表法或畫樹狀圖的方法,求兩人抽取相同數(shù)字的概率;
(2)若兩人抽取的數(shù)字和為2的倍數(shù),則甲獲勝;若抽取的數(shù)字和為5的倍數(shù),則乙獲勝.這個(gè)游戲公平嗎?請用概率的知識(shí)加以解釋.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,點(diǎn)A,B,C,D的坐標(biāo)分別是(1,7),(1,1),(4,1),(6,1),以C,D,E為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似,則點(diǎn)E的坐標(biāo)不可能是
A.(6,0) B.(6,3) C.(6,5) D.(4,2)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知如圖,平行四邊形ABCD中,AE:EB=1:2.
(1)求AE:DC的值.
(2)△AEF與△CDF相似嗎?若相似,請說明理由,并求出相似比.
(3)如果S△AEF=6cm2,求S△CDF.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知,如圖,正方形ABCD中,以CD為邊作等邊三角形CDE,求∠AED的度數(shù).(畫出相應(yīng)的圖形并解答)
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【題目】如圖,在△ABC中,AB=CB,∠ABC=90°,D為AB延長線上一點(diǎn),點(diǎn)E在BC邊上,且BE=BD,連結(jié)AE、DE、DC
①求證:△ABE≌△CBD;
②若∠CAE=30°,求∠BDC的度數(shù).
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