Question

【題目】平面直角坐標(biāo)系xOy中，對(duì)于點(diǎn)M和圖形W，若圖形W上存在一點(diǎn)N（點(diǎn)M，N可以重合），使得點(diǎn)M與點(diǎn)N關(guān)于一條經(jīng)過原點(diǎn)的直線l對(duì)稱，則稱點(diǎn)M與圖形W是“中心軸對(duì)稱”的

對(duì)于圖形和圖形，若圖形和圖形分別存在點(diǎn)M和點(diǎn)N（點(diǎn)M，N可以重合），使得點(diǎn)M與點(diǎn)N關(guān)于一條經(jīng)過原點(diǎn)的直線l對(duì)稱，則稱圖形和圖形是“中心軸對(duì)稱”的。

特別地，對(duì)于點(diǎn)M和點(diǎn)N，若存在一條經(jīng)過原點(diǎn)的直線l，使得點(diǎn)M與點(diǎn)N關(guān)于直線l對(duì)稱，則稱點(diǎn)M和點(diǎn)N是“中心軸對(duì)稱”的。

（1）如圖1，在正方形ABCD中，點(diǎn)，點(diǎn)，

①下列四個(gè)點(diǎn)，，，中，與點(diǎn)A是“中心軸對(duì)稱”的是________；

②點(diǎn)E在射線OB上，若點(diǎn)E與正方形ABCD是“中心軸對(duì)稱”的，求點(diǎn)E的橫坐標(biāo)的取值范圍;

（2）四邊形GHJK的四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，，,一次函數(shù)圖象與x軸交于點(diǎn)M，與y軸交于點(diǎn)N，若線段與四邊形GHJK是“中心軸對(duì)稱”的，直接寫出b的取值范圍。

Answer 1

【答案】（1）①P1，P4；②≤xE≤；（2）2≤b≤2+2或-2-2≤b≤-2．

【解析】

（1）①根據(jù)畫出圖形，根據(jù)“中心軸對(duì)稱”的定義即可判斷．

②以O為圓心，OA為半徑畫弧交射線OB于E，以O為圓心，OC為半徑畫弧交射線OB于F．求出點(diǎn)E，點(diǎn)F的坐標(biāo)即可判斷．

（2）如圖3中，設(shè)GK交x軸于P．求出兩種特殊位置的b的值即可判斷：當(dāng)一次函數(shù)y=x+b經(jīng)過點(diǎn)G（-2，2）時(shí)，2=-2+b，b=2+2，當(dāng)一次函數(shù)y=x+b經(jīng)過點(diǎn)P（-2，0）時(shí)，0=-2+b，b=2，觀察圖象結(jié)合圖形W1和圖形W2是“中心軸對(duì)稱”的定義可知，當(dāng)2≤b≤2+2時(shí)，線段MN與四邊形GHJK是“中心軸對(duì)稱”的．再根據(jù)對(duì)稱性，求出直線與y軸的負(fù)半軸相交時(shí)b的范圍即可．

解：（1）如圖1中，

①∵OA=1，OP1=1，OP4=1，

∴P1，P4與點(diǎn)A是“中心軸對(duì)稱”的，

故答案為P1，P4．

②如圖2中，

以O為圓心，OA為半徑畫弧交射線OB于E，以O為圓心，OC為半徑畫弧交射線OB于F．

∵在正方形ABCD中，點(diǎn)A(1，0)，點(diǎn)C(2，1)，

∴點(diǎn)B（1,1），

∵點(diǎn)E在射線OB上，

∴設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)是（x，y），

則x=y，

即點(diǎn)E坐標(biāo)是（x，x），

∵點(diǎn)E與正方形ABCD是“中心軸對(duì)稱”的，

∴當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)A對(duì)稱時(shí)，則OE=OA=1，

過點(diǎn)E作EH⊥x軸于點(diǎn)H，則OH2+EH2=OE2，

∴x2+x2=12，

解得x=，

∴點(diǎn)E的橫坐標(biāo)xE=，

同理可求點(diǎn)：F（，），

∵E（，），F（，），

∴觀察圖象可知滿足條件的點(diǎn)E的橫坐標(biāo)xE的取值范圍：≤xE≤．

（2）如圖3中，設(shè)GK交x軸于P．

當(dāng)一次函數(shù)y=x+b經(jīng)過點(diǎn)G（-2，2）時(shí)，2=-2+b，b=2+2，

當(dāng)一次函數(shù)y=x+b經(jīng)過點(diǎn)P（-2，0）時(shí)，0=-2+b，b=2，

觀察圖象結(jié)合圖形W1和圖形W2是“中心軸對(duì)稱”的定義可知，當(dāng)2≤b≤2+2時(shí)，線段MN與四邊形GHJK是“中心軸對(duì)稱”的．

根據(jù)對(duì)稱性可知：當(dāng)-2-2≤b≤-2時(shí)，線段MN與四邊形GHJK是“中心軸對(duì)稱”的．

綜上所述，滿足條件的b的取值范圍：2≤b≤2+2或-2-2≤b≤-2．