Question

如圖，直線y=kx+b（k≠0）與拋物線y=ax²（a≠0）交于A，B兩點(diǎn)，且點(diǎn)A的橫坐標(biāo)是-2，點(diǎn)B的橫坐標(biāo)是3，則以下結(jié)論：
①拋物線y=ax²（a≠0）的圖象的頂點(diǎn)一定是原點(diǎn)；
②x＞0時，直線y=kx+b（k≠0）與拋物線y=ax²（a≠0）的函數(shù)值都隨著x的增大而增大；
③AB的長度可以等于5；
④△OAB有可能成為等邊三角形；
⑤當(dāng)-3＜x＜2時，ax²+kx＜b，
其中正確的結(jié)論是（　�。�

• A、①②④
• B、①②⑤
• C、②③④
• D、③④⑤

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：綜合題,壓軸題

分析：①由頂點(diǎn)坐標(biāo)公式判斷即可；
②根據(jù)圖象得到一次函數(shù)y=kx+b為增函數(shù)，拋物線當(dāng)x大于0時為增函數(shù)，本選項正確；
③AB長不可能為5，由A、B的橫坐標(biāo)求出AB為5時，直線AB與x軸平行，即k=0，與已知矛盾；
④三角形OAB不可能為等邊三角形，因為OA與OB不可能相等；
⑤直線y=-kx+b與y=kx+b關(guān)于y軸對稱，作出對稱后的圖象，故y=-kx+b與拋物線交點(diǎn)橫坐標(biāo)分別為-3與2，找出一次函數(shù)圖象在拋物線上方時x的范圍判斷即可．

解答：解：①拋物線y=ax²，利用頂點(diǎn)坐標(biāo)公式得：頂點(diǎn)坐標(biāo)為（0，0），本選項正確；
②根據(jù)圖象得：直線y=kx+b（k≠0）為增函數(shù)；拋物線y=ax²（a≠0）當(dāng)x＞0時為增函數(shù)，則x＞0時，直線與拋物線函數(shù)值都隨著x的增大而增大，本選項正確；
③由A、B橫坐標(biāo)分別為-2，3，若AB=5，可得出直線AB與x軸平行，即k=0，
與已知k≠0矛盾，故AB不可能為5，本選項錯誤；
④若OA=OB，得到直線AB與x軸平行，即k=0，與已知k≠0矛盾，
∴OA≠OB，即△AOB不可能為等邊三角形，本選項錯誤；
⑤直線y=-kx+b與y=kx+b關(guān)于y軸對稱，如圖所示：

可得出直線y=-kx+b與拋物線交點(diǎn)C、D橫坐標(biāo)分別為-3，2，
由圖象可得：當(dāng)-3＜x＜2時，ax²＜-kx+b，即ax²+kx＜b，
則正確的結(jié)論有①②⑤．
故選B．

點(diǎn)評：此題考查了二次函數(shù)綜合題，涉及的知識有：拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)公式，一次函數(shù)與二次函數(shù)的增減性，關(guān)于y軸對稱點(diǎn)的性質(zhì)，利用了數(shù)形結(jié)合的思想，熟練對稱性質(zhì)及數(shù)形結(jié)合思想是判斷命題⑤的關(guān)鍵．