【題目】如圖,在△ABC中,∠A=90°,∠ABC=30°,AC=3,動(dòng)點(diǎn)D從點(diǎn)A出發(fā),在AB邊上以每秒1個(gè)單位的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng),連結(jié)CD,作點(diǎn)A關(guān)于直線CD的對(duì)稱點(diǎn)E,設(shè)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(s).

(1)若△BDE是以BE為底的等腰三角形,求t的值;

(2)若△BDE為直角三角形,求t的值;

(3)當(dāng)S△BCE時(shí),求所有滿足條件的t的取值范圍(所有數(shù)據(jù)請(qǐng)保留準(zhǔn)確值,參考數(shù)據(jù):tan15°=2﹣).

【答案】(1);(2) t的值為秒或3秒;(3) t的取值范圍是6﹣3t3.

【解析】

(1)如圖1,先由勾股定理求得AB的長,根據(jù)點(diǎn)A、E關(guān)于直線CD的對(duì)稱,得CD垂直平分AE,根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得:AD=DE,所以AD=DE=BD,由AB=3,可得t的值;

(2)分兩種情況:

①當(dāng)∠DEB=90°時(shí),如圖2,連接AE,根據(jù)AB=3t=3,可得t的值;

②當(dāng)∠EDB=90°時(shí),如圖3,根據(jù)AGC≌△EGD,得AC=DE,由ACED,得四邊形CAED是平行四邊形,所以AD=CE=3,即t=3;

(3)BCE中,由對(duì)稱得:AC=CE=3,所以點(diǎn)D在運(yùn)動(dòng)過程中,CE的長不變,所以BCE面積的變化取決于以CE作底邊時(shí),對(duì)應(yīng)高的大小變化,

①當(dāng)BCEBC的下方時(shí),

②當(dāng)BCEBC的上方時(shí),

分別計(jì)算當(dāng)高為3時(shí)對(duì)應(yīng)的t的值即可得結(jié)論.

解:(1)如圖1,連接AE,

由題意得:AD=t,

∵∠CAB=90°,CBA=30°,

BC=2AC=6,

AB==3

∵點(diǎn)A、E關(guān)于直線CD的對(duì)稱,

CD垂直平分AE,

AD=DE,

∵△BDE是以BE為底的等腰三角形,

DE=BD,

AD=BD,

t=AD=

(2)BDE為直角三角形時(shí),分兩種情況:

①當(dāng)∠DEB=90°時(shí),如圖2,連接AE,

CD垂直平分AE,

AD=DE=t,

∵∠B=30°,

BD=2DE=2t,

AB=3t=3,

t=

②當(dāng)∠EDB=90°時(shí),如圖3,

連接CE,

CD垂直平分AE,

CE=CA=3,

∵∠CAD=EDB=90°,

ACED,

∴∠CAG=GED,

AG=EG,CGA=EGD,

∴△AGC≌△EGD,

AC=DE,

ACED,

∴四邊形CAED是平行四邊形,

AD=CE=3,即t=3;

綜上所述,BDE為直角三角形時(shí),t的值為秒或3秒;

(3)BCE中,由對(duì)稱得:AC=CE=3,所以點(diǎn)D在運(yùn)動(dòng)過程中,CE的長不變,所以BCE面積的變化取決于以CE作底邊時(shí),對(duì)應(yīng)高的大小變化,

①當(dāng)BCEBC的下方時(shí),過BBHCE,交CE的延長線于H,如圖4,當(dāng)AC=BH=3時(shí),

此時(shí)SBCE=AEBH=×3×3=,

易得ACG≌△HBG,

CG=BG,

∴∠ABC=BCG=30°,

∴∠ACE=60°﹣30°=30°,

AC=CE,AD=DE,DC=DC,

∴△ACD≌△ECD,

∴∠ACD=DCE=15°,

tanACD=tan15°==2﹣

t=6﹣3,

由圖形可知:0<t<6﹣3時(shí),BCEBH越來越小,則面積越來越小,

②當(dāng)BCEBC的上方時(shí),如圖3,CE=ED=3,且CEED,

此時(shí)SBCE=CEDE=×3×3=,此時(shí)t=3,

綜上所述,當(dāng)SBCE時(shí),t的取值范圍是6﹣3≤t≤3.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,ABC是等邊三角形,點(diǎn)DE分別是直線BC、AC上的點(diǎn),且BD=CE.

(1)如圖①,當(dāng)點(diǎn)DE分別在線段BC、AC上時(shí),BEAD相交于點(diǎn)F.求∠AFB的度數(shù).

(2)如圖②,當(dāng)點(diǎn)DCB的延長線上,點(diǎn)EAC的延長線上時(shí),CFABC的高線則線段CD、AF、CE、之間的數(shù)量關(guān)系是 ,并加以證明.

(3)在①的條件下,連接FC,如圖③,若∠DFC=90°,AF= 3,求BF的長.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,在ABC的邊AB,AC的外側(cè)分別作等邊ABD和等邊△ACE,連接DC,BE

1)求證:DCBE;

2)若BD3BC4, BD⊥BC于點(diǎn)B,請(qǐng)求出△ABC的面積.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】閱讀理解:

如圖①,在ABC的邊AB上取一點(diǎn)P,連接CP,可以把ABC分成兩個(gè)三角形,如果這兩個(gè)三角形都是等腰三角形,我們就稱點(diǎn)PABC的邊AB上的和諧點(diǎn).

解決問題:

1)如圖②,在ABC中,∠ACB90°,試找出邊AB上的和諧點(diǎn)P,并說明理由:

2)己知∠A36°ABC的頂點(diǎn)B在射線l上(如圖③),點(diǎn)P是邊AB上的和諧點(diǎn),請(qǐng)?jiān)趫D③及備用圖中畫出所有符合條件的點(diǎn)B,用同一標(biāo)記標(biāo)上相等的邊,并寫出相應(yīng)的∠B的度數(shù).

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】(題文)(1)閱讀理解:

如圖1,在△ABC中,若AB=10,AC=6,求BC邊上的中線AD的取值范圍.

解決此問題可以用如下方法:延長AD到點(diǎn)E使DE=AD,連接BE(或?qū)ⅰ鰽CD繞著點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°得到△EBD,把AB,AC,2AD集中在△ABE中.利用三角形三邊的關(guān)系即可判斷中線AD的取值范圍是_________;

(2)問題解決:

如圖2,在△ABC中,D是BC邊上的中點(diǎn),DE⊥DF于點(diǎn)D,DE交AB于點(diǎn)E,DF交AC于點(diǎn)F,連接EF,求證BE+CF>EF.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】在方格中的位置如圖所示.

1)請(qǐng)?jiān)诜礁窦埳希ㄐ》礁竦倪呴L為1)建立平面直角坐標(biāo)系,使得A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為.并求出C點(diǎn)的坐標(biāo);

2)作出關(guān)于x軸對(duì)稱的,并寫出、兩點(diǎn)的坐標(biāo).

3)求的面積。

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】在實(shí)驗(yàn)中我們常常采用利用計(jì)算機(jī)在平面直角坐標(biāo)系中畫出拋物線和直線,利用兩圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)來求一元二次方程的解,也可以在平面直角坐標(biāo)系中畫出拋物線和直線,用它們交點(diǎn)的橫坐標(biāo)來求該方程的解.所以求方程的近似解也可以利用熟悉的函數(shù)________________的圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)來求得.

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【題目】閱讀對(duì)學(xué)生的成長有著深遠(yuǎn)的影響,某中學(xué)為了解學(xué)生每周課余閱讀的時(shí)間,在本校隨機(jī)抽取了若干名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查,并依據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制了以下不完整的統(tǒng)計(jì)圖表.

組別

時(shí)間(小時(shí))

頻數(shù)(人數(shù))

頻率

A

0≤t≤0.5

6

0.15

B

0.5≤t≤1

a

0.3

C

1≤t≤1.5

10

0.25

D

1.5≤t≤2

8

b

E

2≤t≤2.5

4

0.1

合計(jì)

1

請(qǐng)根據(jù)圖表中的信息,解答下列問題:

(1)表中的a=   ,b=   ,中位數(shù)落在   組,將頻數(shù)分布直方圖補(bǔ)全;

(2)估計(jì)該校2000名學(xué)生中,每周課余閱讀時(shí)間不足0.5小時(shí)的學(xué)生大約有多少名?

(3)E組的4人中,有1名男生和3名女生,該校計(jì)劃在E組學(xué)生中隨機(jī)選出兩人向全校同學(xué)作讀書心得報(bào)告,請(qǐng)用畫樹狀圖或列表法求抽取的兩名學(xué)生剛好是1名男生和1名女生的概率.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,ABC,ACB=120°BC=4,DAB的中點(diǎn),DCBC,則ABC的面積是___.

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