【題目】如圖,ABC是等邊三角形,點(diǎn)D、E分別是直線BC、AC上的點(diǎn),且BD=CE.

(1)如圖①,當(dāng)點(diǎn)D、E分別在線段BC、AC上時(shí),BEAD相交于點(diǎn)F.求∠AFB的度數(shù).

(2)如圖②,當(dāng)點(diǎn)DCB的延長(zhǎng)線上,點(diǎn)EAC的延長(zhǎng)線上時(shí),CFABC的高線則線段CD、AFCE、之間的數(shù)量關(guān)系是 ,并加以證明.

(3)在①的條件下,連接FC,如圖③,若∠DFC=90°AF= 3,求BF的長(zhǎng).

【答案】(1)120°;(2) ;(3).

【解析】

1)根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)直接利用SAS證明ABD≌△BCE,得到∠BAD=∠CBE,然后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可求∠AFB的度數(shù);

2)根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)直接利用SAS證明ABD≌△BCE,得到BD=CE,然后根據(jù)等邊三角形三線合一的性質(zhì)可得BC=2AF,易得CD=BC+BD=2AF+CE;

3)將ABF繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到CBM,連接FM,根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得BMF為等邊三角形,求出A、F、M三點(diǎn)共線,∠FMC60°,結(jié)合∠DFC=90°,利用含30度直角三角形的性質(zhì)可求出MF,然后可得BF.

解:(1)∵△ABC是等邊三角形,

ABBC,∠ABD=∠BCE

BDCE,

∴△ABD≌△BCESAS),

∴∠BAD=∠CBE,

∵∠AFB+∠BAD+∠ABF180°,

∴∠AFB+∠CBE+∠ABF180°

∵∠CBE+∠ABF=∠ABC60°,

∴∠AFB120°;

2)∵△ABC是等邊三角形,

ABBC,∠ABC=∠ACB,

∴∠ABD=∠BCE,

BDCE,

∴△ABD≌△BCESAS),

BD=CE,

CFABC的高線,

AB=2AF,即BC=2AF,

CD=BC+BD=2AF+CE;

3)如圖,將ABF繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到CBM,連接FM,

BF=BM,∠FBM60°,

∴△BMF為等邊三角形,

∴∠BFM60°,

∵∠AFB120°

A、F、M三點(diǎn)共線,∠BMC=∠AFB120°,

∴∠FMC=∠BMC-∠BMF120°60°60°,

∵∠DFC=90°,AF=,

MC=AF=,

,

.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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1)如圖1,在RtABC中,∠ACB90°,CDABD,請(qǐng)寫出圖中兩對(duì)等角三角形

2)如圖2,在ABC中,CD為角平分線,∠A40°,∠B60°。求證:CDABC的等角分割線.

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(1)求k的值;

(2)根據(jù)圖象直接寫出正比例函數(shù)值小于反比例函數(shù)值時(shí)x的取值范圍;

(3)過原點(diǎn)O的另一條直線l交雙曲線y=(k>0)于P、Q兩點(diǎn)(P點(diǎn)在第一象限),若由點(diǎn)A、P、B、Q為頂點(diǎn)組成的四邊形面積為224,求點(diǎn)P的坐標(biāo).

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(1)若△BDE是以BE為底的等腰三角形,求t的值;

(2)若△BDE為直角三角形,求t的值;

(3)當(dāng)S△BCE時(shí),求所有滿足條件的t的取值范圍(所有數(shù)據(jù)請(qǐng)保留準(zhǔn)確值,參考數(shù)據(jù):tan15°=2﹣).

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